| 研究課題/領域番号 |
12640170
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
大鍛治 隆司 京都大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (20160426)
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| 研究分担者 |
重川 一郎 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (00127234)
西田 孝明 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (70026110)
井川 満 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (80028191)
土居 伸一 筑波大学, 数学系, 助教授 (00243006)
谷口 雅彦 京都大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (50108974)
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| キーワード | 固有値の非存在 / 特異性の伝播 / シュレディンガー方程式 / マックスウエル方程式 / ディラック方程式 / 平滑化効果 |
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| 研究概要 |
研究代表者大鍛治は偏微分方程式の解に対する2つの重要な性質である、解の超局所特異性の伝播および連続スペクトル中に埋め込まれた固有値の非存在について研究を行った。まず前者については、時間発展方程式としてシュレディンガー方程式に対する解の特異性の伝播問題を考察するに際して、解のWigner変換が満たす超局所保存則に着目することにより、解の超局所的滑らかさを波束変換を用いて調べる方法を確立した。(波束変換の特別な場合として、標準的なFBI変換がある。)この方法は磁場によるベクトルポテンシャルや電場によるスカラーポテンシャルがそれぞれ高々1次と2次の増大度を持つものに対して適用でき、これによって、ポテンシャルと解の特異性との詳細な関係を明らかにすることが可能になった。とくに解の平滑化効果、超局所特異性の再現、振動する初期値に対する解の超局所特異性の生成等、非常に興味ある現象を考察した。
さらに2番目の性質については、数理物理学において重要なDirac作用素や定常Maxwell方程式等の1階楕円型方程式系を考察の対象とした。このうちDirac作用素については、ドイツのKalf氏、山田修宣氏と共同研究を行い、その結果無限遠方で発散するポテンシャルを持つ場合にDirac作用素の固有値が存在しないクラスを求めた。また、定常Maxwell方程式に対しても、等方およびある種の非等方的媒質において同様の結果が成り立つことを示し、既存の結果を大幅に改良した。
研究分担者土居は時間発展Schrodinger方程式の解の平滑化効果を別の関数解析的側面からのアプローチを行った。即ち、ヒルベルト空間上で分散型発展方程式を考え、ある種の凸性条件の下、入射領域における平滑効果の存在を証明し、この方法を使って多様体上での分散型発展方程式の(高次の)平滑効果と、主表象のハミルトン流の大域的挙動との関係を研究した。
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