| 研究分担者 |
桑江 一洋 横浜市立大学, 理学部, 助教授 (80243814)
関根 順 大阪大学, 大学院・基礎工学研究科, 講師 (50314399)
長井 英生 大阪大学, 大学院・基礎工学研究科, 教授 (70110848)
日野 正訓 京都大学, 大学院・情報科学研究科, 講師 (40303888)
吉田 伸生 京都大学, 大学院・理学研究科, 講師 (40240303)
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| 研究概要 |
今年度は主に次の二つのことについて研究した。
(1)確率空間上のL^2空間で定義された保存的対称拡散過程の非負値生成作用素は定数関数を固有値0の固有関数としてもつ。0が単純な固有値であるときそのディリクレ形式は既約といわれる。そのとき,0のすぐ上にスペクトル集合がないときスペクトルギャップが存在すると言われる。これは半群のL^2での指数的減数と同値である。半群がコンパクトであれば,当然成立するがコンパクト性は無限次元空間上では期待できない。一方,楠岡はWiener空間のH-連結なH-開集合がある正則性の条件をみたせば,その上で定義されたディリクレ形式が弱スペクトルギャップの存在を満たすことを示していた。その弱スペクトルギャップの存在とソボレフ型の不等式を組み合わせてスペクトルギャップの存在を示し評価する方法を以前与えた。この後,日野により保存的とは限らない場合にまで拡張され,それがループ空間上のSchrodinger作用素で生成される半群,ディリクレ形式にうまく応用されることが,F-Z.Gong,M.Rockner,L-M.Wu,により見出された。その結果を受けて、RocknerとWangにより導入されていた弱ポアンカレ不等式を用いてSchrodinger作用素のスペクトルギャップの評価を行った。またSchrodinger作用素のグラウンドステイトの評価を弱ポアンカレ不等式を用いて行った。
(2)回転対称なリーマン計量をもつ多様体上の熱核の対数微分がユークリッド空間のときと同様な形の評価をもつための十分条件を与え、その応用としてループ空間上で対数ソボレフ不等式が成立することを示した。また熱核の下からのグローバルな評価に関する研究を行った。
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