非可換ゲージ場とパンルベ函数

2002 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 12640174
• 研究機関: 大阪大学
• 研究代表者: 大山 陽介 大阪大学, 大学院・情報科学研究科, 助教授 (10221839)
• 研究分担者: 宮西 正宜 大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (80025311) ; 日比 孝之 大阪大学, 大学院・情報科学研究科, 教授 (80181113) ; 小谷 眞一 大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (10025463) ; 茶碗谷 毅 大阪大学, 大学院・情報科学研究科, 助教授 (80294148) ; 山本 芳彦 大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (90028184)
• キーワード: パンルヴェ方程式 / ツイスタ理論 / 非結合代数

研究概要

本年度はパンルヴェ函数の既約性の問題からちょうど100年になることでもあり、パンルヴェ方程式の「特殊解」について、その定義の見直しをはかった。パンルヴェ函数の既約性について、もっとも難しい点は既約性の定義であり、現時点では微分ガロア理論に基づく梅村の定義がもっとも有効とされている。しかし、梅村の定義ではカバーできないピカールの解などの存在は、長く頭を悩ませてきた。
そこで、「モノドロミ可解」という概念を提唱し、モノドロミ可解の定義づげと新しい例の構成を考察した。現在、「モノドロミ可解」の定義として「モノドロミが計算可能である」という経験的な定義を採用しているが、代数的に捉え直すことが最終的な目標である。特に、パンルヴェIV型方程式に対して、阪大院生・金子氏が梅村の意味では既約であるが、モノドロミ可解な新しい解を発見した。モノドロミ可解なパンルヴェ函数の研究は、今後しばらくこの分野の中心的なテーマの一つになるであろうと考えている。
また、パンルヴェ方程式やさらにモノドロミ保存方程式と関係深い、ダルブー・アルファン系の可解条件をランク4の場合に拡張した。具体的には、ダルブー・アルファン系に付随する非結合代数の言葉で、可解条件を述べることに成功した。ランク3の場合の異なり、非結合代数の積構造に1パラメータが入ることが特徴である。これによってパンルヴェ方程式への応用まであと一歩のところまでたどりついた。
なお、この3年間の研究を踏まえた著書を執筆中である。来年度に持ち越す形となったが、本研究のもうひとつの報告書としたい。

研究成果

• [文献書誌] Ohyama, Yousuke: "Isomonodromy Deformations and Twistor theory"Contemporary Mathmatics. 309. 185-193 (2002)
• [文献書誌] Ohyama, Yousuke: "Classical Solutions of Schlesinger equations and Twistor Theory"CRM Proceedeings and Lecture Notes. 31. 61-68 (2002)
• [文献書誌] Aramova, Annetta, Heizog, Jorgen, Hibi, Takayuki: "Shellability of semigroup rings"Nagoya Math J. 168. 65-84 (2002)
• [文献書誌] Gasharov, Vesselin, Hibi, Takayuki, Peeva, Irena: "Resolutions of a-stable ideals"J. Algebra. 254. 375-394 (2002)
• [文献書誌] Ohsugi, Hidefumi, Hibi, Takayuki: "Hamiltonian tournaments and Gorenstein rings"European J. Combin.. 23. 463-470 (2002)
• [文献書誌] Ohsugi, Hidefumi, Hibi, Takayuki: "Quadratic initial ideals of root systems"Proc. Amer. Math. Soc.. 130. 1913-1922 (2002)
• [文献書誌] Kitamura, Tomonori, Ohshugi, Hidefumi, Hibi, Takayuki: "Gro"bner bases associated with positive roots and Catalan numbers"Proceedings of the 5th Symposium on Algebra, Languages and Computation. 39-46 (2002)
• [文献書誌] Miyanishi, Masayoshi, Masuda, Kayo: "Generalized Jacobian conjecture and related topics"Algebra arithmetic and geometry. 427-466 (2002)
• [文献書誌] Miyanishi Masayoshi, Masuda, Kayo: "Open Algebraic surfaces with finite group actions"Transform Groups. 7. 185-207 (2002)
• [文献書誌] Miyanishi, Masayoshi: "Completely parametrized A^1_*-fibrations on the affine plane"Adv. Stud. Pure Math.. 33. 185-201 (2002)
• [文献書誌] Tadayoshi Kano, Sae Mild: "Sur les ondes superficielles de l'eau et le developpement de Friedrichs dans le systeme de coordonnees de Lagrange"Hyperbolic Differential Operators and Related Problems. 199-232 (2003)
• [文献書誌] Tsuyoshi Chawanya, Kei Tokita: "Large dimensional Replicator Equations with Antisymmetric Random Interactions"Journal of the Physical Society of Japan. 71. 429-431 (2002)
• [文献書誌] Satoru Morita, Tsuyoshi Chawanya: "Collective motions in globally coupled tent maps with stochastic updating"Physical Review E. 65. 46-201 (2002)
• [文献書誌] Ayano Fujita, Tsuyoshi Chawanya: "Slow Switching near a Blowout Bifurcation ---Yet Another Mechanism---"Progress of Theoretical Physics. 109. 139-144 (2003)