偏微分方程式における解の定量的性質と特性集合の幾何学的構造との関係

2001 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 12640175
• 研究機関: 大阪大学
• 研究代表者: 杉本 充 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (60196756)
• 研究分担者: 小磯 憲史 大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (70116028) ; 庵原 隆雄 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助手 (00294140) ; 松村 昭孝 大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (60115938) ; 西谷 達雄 大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (80127117) ; 長瀬 道弘 大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (70034733)
• キーワード: 振動積分 / 双曲型方程式 / 初期値問題 / 境界値問題 / 除去可能特異点 / Lp-解析 / 波動方程式 / ポテンシャル

研究概要

本年度も引き続き、基本課題である振動積分の理論の整備をめざした。相関数が退化しない場合は、その漸近挙動は鞍部点法等から容易に解析される。しかし相関数が退化する場合の解析の手段は限られており、次元が低い時、さらには相関数が解析的であるなどの制約条件の下での結果が知られているに過ぎない。ここでは最近開発された、相関数の代数的構造を精密に捉えるPhong、Steinの方法や、幾何的構造を考慮する研究代表者の方法などを用いて、これらの制約の除去につとめた。これに関しては、次年度以降も引き続き研究を継続していく予定である。特に本年度は、ロンドン大学インペリアル・カレッジのRuzhansky氏と積極的に交流し、代数的構造からのアプローチに重点をおいた。
また応用課題として、平滑化作用の超局所解析にも着手した。特に、分散型方程式において解の滑らかさが初期データのそれよりも増大する現象に、特性集合の構造がどのように関わっているのかを調べた。さらに、この結果を用いて基本解の精密な時空間評価を求め、特異データに対する非線形初期値問題の解の存在と一意性を示すなどの成果を得た。
さらに副産物として、偏微分方程式における解の特異点除去可能性の問題についても進展がみられた。これについては、従来ボホナーのアイデアによるポテンシャル論的方法が多く用いられてきた。ここでは、超局所解析的手法とLp解析をあわせ用いた新しい方法を開発し、ボホナーの方法では示せない、より一般の非斉次方程式を取り扱うことに成功した。

研究成果

• [文献書誌] 杉本 充: "A weak extension theorem for inhomogeneous differential equations"Forum Math. 13巻. 323-334 (2001)
• [文献書誌] 杉本 充: "A smoothing property of Schrodinger equations along the sphere"J.Anal.Math.. (発表予定).
• [文献書誌] 杉本 充(M.Ruzhanskyと共著): "Global L^2 estimates for a class of Fourier integral operators with symbols in Besov Spaces"Russian Mathematial Surveys. (発表予定).
• [文献書誌] 松村 昭孝(N.Yamagataと共著): "Global weak solutions of the Navier-Stokes equations for multidimensional compressible flow subject to large external potential forces"Osaka J.Math. 38巻. 399-418 (2001)
• [文献書誌] 西谷 達雄(J.Vaillantと共著): "Smoothly symmetrizable systems and the reduced dimensions"Tsukuba M.Math. 25巻. 165-177 (2001)
• [文献書誌] 長瀬道弘(P.Ashinoらとの共著): "Microlocal filtering with multiwavelets"Comput.Math Appl.. 41巻. 111-133 (2001)