偏微分方程式における解の定量的性質と特性集合の幾何学的構造との関係

2002 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 12640175
• 研究機関: 大阪大学
• 研究代表者: 杉本 充 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (60196756)
• 研究分担者: 長瀬 道弘 大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (70034733) ; 小磯 憲史 大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (70116028) ; 西谷 達雄 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (80127117) ; 内田 素夫 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (10221805) ; 松村 昭孝 大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (60115938)
• キーワード: 振動積分 / フーリエ積分作用素 / 大域的有界性 / シュレディンガー方程式 / 初期値問題 / Lp-解析 / 正準変換 / 平滑化作用

研究概要

本年度も引き続き、基本課題である振動積分の理論の整備をめざした。特に本年度は、ロンドン大学インペリアル・カレッジのRuzhansky氏との共同研究により、振動積分作用素の2乗可積分の空間における大域的有界性に関して著しい進展がみられた。さらにそれを応用することに、偏微分方程式の解の定量的性質を調べる際の基本的道具であるフーリエ積分作用素の有界性の理論においても、大きな進展がみられた。具体的には、大域的正準変換を表現するフーリエ積分作用素の重みつき2乗可積分の空間における有界性の理論を整備し、それを用いてシュレディンガー方程式の平滑化作用の解析に応用した。
偏微分作用素は正準変換を介して標準形に変形され、正準変換はフーリエ積分作用素により実現されることは、既によく知られていることである。この方法により偏微分方程式は、単純な方程式へと変換され、解の多くの性質は、対応するフーリエ積分作用素の性質へと移行させることができる。例えば、解の特異性が特性曲線に沿って伝播するなどの性質がこの方法により容易に導き出されることが知られている。
このような定性的解析の手段としてのフーリエ積分作用素論は確立され、既に多くの成果を上げているが、どれぐらいの特異性がどれだけ伝播するかなどの定量的解析を行うには、フーリエ積分作用素の有界性に関する詳しい結果が不可欠となる。しかしながら、フーリエ積分作用素の有界性に関する理論は、現在においても十分に整備されたとはいいがたく、多くの重要な問題がいまだ未解決なままである.このため、定量的解析の場合にこのような正準変換を経由する方法論がとられることは敬遠され、様々な問題を見通しの悪いものにしている。
しかしながら、本年度の研究の成果はこの困難に正面から立ち向かうものであり、偏微分方程式論におけるひとつの基本的な方法論となることが期待されている。

研究成果

• [文献書誌] 杉本 充(M.Ruzhanskyとの共著): "Global L^2 estimates for a class of Fourier integral operators with symbols in Besov spaces"Russian Math. Surveys.. (発表予定).
• [文献書誌] 杉本 充: "A Smoothing property of Schrodinger equations along the sphere"J. Anal. Math.. (発表予定).
• [文献書誌] 小磯 憲史: "Vortex filament equation in a riemannian manifold"Tohoku Math. J.. (発表予定).
• [文献書誌] 西谷 達雄(A.Boveとの共著): "Necessary conditions for the well-posedness of the Cauchy problem for hyperbolic systems"Osaka J. Math.. Vol.39. 149-179 (2002)
• [文献書誌] 内田素夫: "A non-existence theorem of lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients"Ark. Mat.. Vol.40. 201-205 (2002)