| 研究概要 |
今年度は弾擬凸領域のべルグマン核を用いて領域のrenormalized volumeを定義する方法を研究した。まず領域Xの定義関数r(内部で正値)を固定し,正のパラメータtに対してr>tで与えられるXの部分領域X_t考え、そのベルグマン計量に関する体積Vol(X_t)のtが0に近付くときの挙動を考察した。その結果Vol(X_t)のtに関する漸近展開のlogtの係数はrの選び方に依らない領域の不変量であることがわかった。さらにtが0に近付くときの有限部分は定義関数rに依存する大域的な量であることがわかった。これは超弦理論-共形場理論の対応でのrenormalized volumeにアノマリーが現われるという事実と対応しており、有限部分(これをrenormalized volumeと定義したい)が確定しないことは自然な結果である。
次に、renormalized volumeのrへの依存性(アノマリー)を詳しく解析するために領域の定義関数をその境界のレビ計量に応じて自然に構成する方法を与えた。これはrをノイマン条件を満たす複素Monge-Ampere方程式の解として与えるもので、Feffemanによって構成されていた双正則不変な定義関数の一般化になっている。この厳密な定義関数rを用いれば体積の有限部分のrに関する依存性を境界の(レビ計量によって決まる)Webster曲率を用いて記述することが可能となると期待できる。実際には定義関数の構成には任意性が残っていてアノマリーとWebster曲率の関係は明か確ではない。その関係を明らかにするのが今後の課題である。
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