エルゴード理論とPerron-Frobenius作用素に関する研究

2000 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 12640190
• 研究機関: 日本大学
• 研究代表者: 森 真 日本大学, 文理学部, 教授 (60092532)
• 研究分担者: 福田 拓生 日本大学, 文理学部, 教授 (00009599) ; 渡辺 敬一 日本大学, 文理学部, 教授 (10087083) ; 黒田 耕嗣 日本大学, 文理学部, 教授 (50153416) ; 山浦 義彦 日本大学, 文理学部, 助教授 (90255597) ; 鈴木 理 日本大学, 文理学部, 教授 (10096844)
• キーワード: スペクトル / Perron-Frobenius作用素 / エルゴード性 / 混合性 / フラクタル

研究概要

力学系のエルゴード性は対応するPerron-Frobenius作用素のスペクトルによって特徴づけられることが知られている。この作用素はコンパクトでないことから一般論が適用できない。これまでに研究代表者は,変換の性質を用いて確率論的手法である母関数の再生方程式を構成することで,Perron-Frobenius作用素のスペクトルを求める方法を,1次元の2回連続微分関数や高次元のpiecewise linear変換によって定まる力学系のエルゴード性を研究してきた.
今回はその理論を拡張して,1次元カントール集合のHoausdorff次元を与える方法を求め、さらにその上の力学系のエルゴード性を研究した(論文1)、一方で1次元の混合的な力学系はベルヌーイ型であることが知られていてそのことから多重混合性が成り立つ,この多重混合性について,Perron-Frobenius作用素のスペクトルを用いて,収束のオーダーを与えた(論文2).現在この方法を用いて力学系から作られるランダム・ウォークがBrown運動に収束することを証明すべく研究中である.このことはMarkoo型であればこれまでにも知られているが一般の1次元力学系ではしられていない.

研究成果

• [文献書誌] Makoto Mori: "Cantor sets generated by Piecewise linear map"The Inst.of Natural Sciences, Nihon Univ.. 35. 1-27 (2000)
• [文献書誌] Makoto Mori: "Higher Order mixing property of piecewise linear transformation"Discrete and Continous Dynamical systems. 6. 915-934 (2000)
• [文献書誌] K.Watanabe,N.Hara: "F-regular and F-pure Rings vs Log-terminal and Log-canonical singularities"J.Alg.Geom. (to appear).
• [文献書誌] K.Watanabe,K.Yoshida: "Hilbert-Kunz multiplicity of two dimensional local rings"Nagoya.Math.J.. (to appear).
• [文献書誌] K.Watanabe,S.Goto,S.Iai: "Good ideals in Gorenstein local rings"Trans.A,M,S,. (to appear).
• [文献書誌] O.Suzuki: "The Riemann-Hilbert problems for higher dimensional homology group on a real manifold"Proceedings of the international conference on Boundary Value problems, Integral Equations and related topics. (to appear).