非線形微分方程式の特異解の研究

2001 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 12640196
• 研究機関: 福岡大学
• 研究代表者: 草野 尚 福岡大学, 理学部, 教授 (70033868)
• 研究分担者: 山田 直記 福岡大学, 理学部, 教授 (50030789) ; 西郷 恵 福岡大学, 理学部, 教授 (10040403) ; 陶山 芳彦 福岡大学, 理学部, 教授 (70028223) ; 内藤 学 愛媛大学, 理学部, 教授 (00106791) ; 吉田 範夫 富山大学, 理学部, 教授 (80033934)
• キーワード: 非線形微分方程式 / 特異性をもつ微分方程式 / 特異解 / ブラックホール解 / ホワイトホール解

研究概要

今年度の当初の目的は、ホワイトホール解と呼ばれる新種の特異解の厳密な理論付けであった。試行錯誤の結果、ホワイトホール解を持ち得る2階非線形常微分方程式のクラスが存在することを突き止め、この種の特異解が実際に存在する状況を特徴付けることに成功した。得られた結果は、ブラックホール解の存在が、微分作用素に特異性を有する微分方程式に限られるのに反し、ホワイトホール解は、微分作用素に特異性を有しない微分方程式にのみ存在するという、顕著な相対性(duality)の成立を明らかにするものであった。単独の微分方程式に関する研究は更に進展し、ある種の2次元の2階非線形微分方程式系に対してもホワイトホール解が存在することが実証され、存在のための十分条件が導出された。この結果を、前年度に得られた2階非線形微分方程式系に関するブラックホール解の存在の結果と比較すれば、特異型微分方程式系に対しても、2種の特異解について明確な相対性が存することが看取されるであろう。次なる問題は、(1)高階の非線形常微分方程式(単独或いは系)に対するブラックホール解ならびにホワイトホール解の存在・非存在の精密な研究、(2)ブラックホール解とホワイトホール解を統一的に把握する理論の構築の可能性の吟味、であった。問題(1)に関しては、手始めに4階の単独方程式を例に取って、様々な計算を行い、2種の特異解のそれぞれが、特異性を示す解或いは解の導関数の階数に従って、幾つかの部分クラスから構成されるべきであるという青写真を描くことが出来、その後の研究の方向付けについての方針を定めることが出来た。(2)については、前年度の成果報告書に述べた方向に沿って研究を行ったが、実質的な進展を得るまでに至らず、今後の課題として残されることになった。本研究に対する2年間に亘る助成に対し深い感謝の念を表しつつ報告を終える。

研究成果

• [文献書誌] J.Jaros, T.Kusano: "On white hole solutions of a class of nonlinear differential equations of the second order"Funkcialaj Ekvacioj. (近刊).
• [文献書誌] J.Jaros, T.Kusano, T.Tanigawa: "Existence of singular solutions for a class of two-dimensional systems of second order nonlinear differential equations"Fukuoka University Science Reports. (近刊).
• [文献書誌] J.Jaros, T.Kusano, N.Yoshida: "Picone-type inequalities for half-linear elliptic equations and their applications"Advances in Mathematical Sciences and Applications. (近刊).
• [文献書誌] J.Jaros, T.Kusano, N.Yoshida: "Genaralized Picone's formula and forced oscillations in quasilinear differential equations of the second order"Archivum Mathematicum(Brno). (近刊).
• [文献書誌] J.Jaros, T.Kusano, N.Yoshida: "Oscillation properties of solutions of a class of nonlinear parabolic equations"Journal of Computational and Applied Mathematics. (近刊).
• [文献書誌] J.Jaros, T.Kusano, N.Yoshida: "Oscillatory properties of solutions of superlinear-sublinear parabolic equations via Picone-type inequalities"Mathematical Journal of Toyama University. (近刊).