| 研究概要 |
石井志保子氏による混合Hodge構造を用いた純楕円型特異点の分類がなされている.これは各埋め込み次元を固定した際の特異点解消の例外集合の位相的な分類を与える.単純楕円型特異点や単純K3特異点などは超曲面の場合にはその定義式が(準)擬斉次多項式となり,これらの場合に対しては自然に特別な正整数の組み(ウエイト: weight)を対応付けることができるが,従来このウエイトという観点からは定義式が(準)擬斉次多項式である超曲面孤立特異点のみしかその研究の対象とはなりえなかった.一方,定義式が(準)擬斉次多項式であるなしに関わりなく,あるウエイトによるweighted blow-upでcanonical modelが得られる超曲面孤立特異点の特徴付けが石井氏によって得られた.多くの場合,非退化な超曲面純楕円型特異点はこのようなウエイトを持つ.
我々は一般に,非退化な超曲面孤立特異点(X,χ)の多重種数{γ_m(X,χ)}_<m∈N>を組合せ論的に与える公式を提出した.これは現段階においては予想であり,証明にはまだギャップが残っている.またこの公式が成立するという仮定のもとでではあるが,あるウエイトによるweighted blow-upでcanonical modelが得られるような,非退化な超曲面純楕円型特異点のγ_m(X,χ)はこのウエイトで決定されることを示した.しかしながら,全ての超曲面純楕円型特異点がこのようなウエイトを持つものではないことが知られており,このウエイトの存在と{γ_m(X,χ)}_<m∈N>の振舞との関連を明らかにすることも,先に触れた公式に対する証明のギャップを埋めることと共に,将来の課題であることを追記しておく.
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