| 研究概要 |
リーマン多様体は、リーマン距離をもつ距離空間であると同時にリーマン測度とエネルギー形式によって定まる正則ディリクレ空間である。後者の視点から研究代表者と分担者久村憲裕氏との共同研究で導入されたスペクトル収束の概念を中心に研究した。以下成果を要約する。(1)スペクトル収束は,エネルギー形式の一種のガンマ収束の形で表現できる(2)スペクトル収束はグロモフ-ハウスドルフ距離を"dominate"する.具体的には,極限空間のリプシッツ関数のエネルギー測度は絶対連続で,その密度関数は局所リプシッツ定数を越えることはない.さらに測地球体のある種の単調性と測度ポアンカレ不等式の一様成立の下に,局所リプシッツ定数自身,密度関数の定数倍によって評価され,従ってエネルギー形式から決まる測地的距離と極限の距離は同値なリプシッツクラスを定める.言い換えると,このようなクラスは,スペクトル収束そしてグロモフ-ハウスドルフ収束位相いずれに関してもある意味で閉じている.(3)局所スペクトル収束の成立,および開集合上のラプラス方程式の解-境界条件を満たす調和関数-の収束が成立する.(4)非正の曲率を持つ完備多様体をターゲットとする写像空間とそのエネルギースペクトルの連続性および調和写像の収束が成り立つ.これらの応用として、アルバネーゼトーラスおよびアルバネーゼ写像の連続性を示す.この事実は,極限空間の位相的性質を反映している事実であると期待できる.
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