| 研究概要 |
リーマン多様体を特別なものとして含む,正則ディリクレ空間の族のスペクトル収束とその極限の解析を行った.具体的には,次の結果を得た:(1)距離球体の測度の増大度とポアンカレ不等式の一様成立の下に,内在的距離に関して完備な正則ディリクレ空間の族のコンパクト性を示した.(2)収束する正則ディリクレ空間の内在的距離(カルノーカラテオドリ距離)の極限は,極限空間の内在的距離とは一般には一致せず,大小関係・支配関係のみ成立することを示した.(3)距離球体の測度の増大度とポアンカレ不等式の一様成立の下に,非正曲率多様体をターゲットとする調和写像の収束を明らかにすることによって,極限空間から非正曲率多様体への写像空間の構造について,古典的なEells-Sampson型の結果を示した.さらに調和写像に関する領域の上の境界値間題の解の収束を確かめた.(4)コンパクトリーマン多様体のスペクトル距離収束の考えに基づいて,接続の与えられたエルミートベクトル束の粗ラプラス作用素のスペクトル収束およびエネルギー形式のモスコ収束に関する全有界性と極限のペクトル即の解析を行った.また微分形式に関するホッジラプラシアンとの関係から,下に有界な準同形作用素をポテンシャル項として含む場合も考察した.この場合は幾何的に重要な場合であり,詳細な解析は今後の課題である.
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