| 研究分担者 |
小林 隆夫 東京理科大学, 理工学部, 助教授 (90178319)
古谷 賢朗 東京理科大学, 理工学部, 教授 (70112901)
小林 嶺道 東京理科大学, 理工学部, 教授 (70120186)
長澤 壮之 東北大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (70202223)
田中 真紀子 東京理科大学, 理工学部, 講師 (20255623)
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| 研究概要 |
今年度、立川はポテンシャルを伴う調和写像を中心に研究を行った。すなわち、リーマン多様体(M,g)からリーマン多様体(N,h)への写像u:M→NとΩ⊂⊂Mに対して定義されるエネルギー汎関数E(u)=∫_Ωe(u)dμ=∫_Ω1/2g^<αβ>(x)h_<ij>(u)(∂u^i)/(∂x^α)(∂u^j)/(∂x^β)√<g>dx(dμはM上の体積要素、(g^<αβ>)=(g_<αβ>)^<-1>,g=det(g_<αβ>)とする)の被積分関数に、uのみに依存するポテンシャル項G(u)を加えて得られる汎関数EG(u)=∫_Ω[e(u)+G(u)]dμを考え、その停留点として与えられる写像(ポテンシャル付き調和写像)の正則性を中心に研究を行った。その結果、Mの次元をmとするとき、2^*=2m/(m-2)に対しG(u)【less than or equal】C_1+C_2|u|^<2*>(C_1,C_2は定数)という条件のもとで、E_G(u)を最小化する写像に対して、そのL^∞-評価とHolder連続性を得ることができた。これは当初期待していた通りの結果であった。この結果を論文としてまとめたものを、Tokyo J.Math.に投稿し、掲載が受理された。
立川は、さらに一般化した汎関数F(u)=∫f(e(u))dx(f:R→Rは適当な条件を満たす関数)の最小化写像の正則性に対しても研究を行い、一定の成果を得つつある。
長澤と立川は非コンパクト多様体間の調和写像の存在、非存在の問題について共同で研究を行った。その結果、定義域側と値域側の多様体それぞれの断面曲率と、全体で定義される(有界領域上で爆発しない)調和写像の存在、非存在の関係について従来知られているものより精密な結果を得ることが出来た。
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