非線形拡散方程式系および関連する界面問題の解析

2000 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 12640224
• 研究機関: 早稲田大学
• 研究代表者: 山田 義雄 早稲田大学, 理工学部, 教授 (20111825)
• 研究分担者: 廣瀬 宗光 日本学術振興会, 特別研究員 (50287984) ; 田中 和永 早稲田大学, 理工学部, 教授 (20188288) ; 大谷 光春 早稲田大学, 理工学部, 教授 (30119656) ; 竹内 慎吾 学習院大学, 理学部, 助手 ; 中島 主恵 早稲田大学, 理工学部, 助手 (10318800)
• キーワード: 反応拡散方程式 / Lotka-Volterra型 / 正値定常解 / 分岐 / 解の多重性

研究概要

今年度の研究成果は、、Lotka-volterra型の反応拡散方程式系
u_t=μΔu+uf(u,v),v_t=νΔv+vg(u,v)
の正値定常解に関するものが中心である。この系における反応項f,gは二つの未知関数u,vの相互作用を表している。その相互作用の仕方によって、競合型モデルとなったり、捕食者と被捕食者の関係を扱うprey-predator型モデルになったりする。
(1)Lotka-volterra型の競合モデルに対する反応拡散方程式系の正値定常解は、数理生態学分野においては共存解として大きな意味がある。本研究においては同次Dirichlet境界条件下で共存解が存在するための十分条件や共存解の一意性・非一意性を理論的および数値解析的に調べた。相互作用の係数がある一定の条件をみたすときには、拡散係数をパラメータとみると必ず共存解が2個以上存在する範囲のあることが理論的に明らかになった。とりわけ、相互作用が非常に大きいときには拡散係数が小さくなるにつれてより多くの共存解が出現することを示すことができた。これは既存の解の多重性に関する結果に新しい視点を与えるものである。さらに、Newton法を応用したスキームにより数値解析的に共存解を構成し、解が分岐していく様子をパラメータの変化に応じて追跡することができた。
(2)通常のprey-predator型のLotka-Volterraモデルについては正値定常解が存在するための必要十分条件はよく知られている。そこで、本研究では非線形性をFitzHugh-Nagumo型の3次関数としたとき、定常解が現われる必要条件や十分条件にどんな変化が起きるか調べはじめた。解の多重性や安定性の交代などの点も含め、さらに数値実験も交えた解析を進めていきたい。

研究成果

• [文献書誌] 竹内慎吾,山田義雄: "Asymptotic properties of a reaction-diffusion equation with degenerate p-Laplacian"Nonlinear Anal.Ser.A : Theory Methods. Vol.42,No.1. 41-61 (2000)
• [文献書誌] 市川達夫,山田義雄: "Some remarks on global solutions to quasilinear parabolic system with cross-diffusion"Funkcialaj Ekvacioj. Vol.43,No.2. 285-301 (2000)
• [文献書誌] 山田義雄: "Coexistence states for Lotka-Volterra systems with cross-diffusion"Fields Institule Communications. Vol.25. 551-564 (2000)
• [文献書誌] 山田義雄: "Positive solutions for Lotka-Volterra competition system with diffusion"Nonlinear Anal.Ser.A : Theory Methods. 発表予定. (2001)
• [文献書誌] P.Felmer,田中和永: "Scattering solutions for planar singular Hamiltonian systems via minimization"Adv.Differential Equations. Vol.5. 1519-1544 (2000)
• [文献書誌] 廣瀬宗光,柳田英二: "Global structure of self-similar solutions in a semilinear parabolic equation"J.Math.Anal.Appl.. Vol.244,No.2. 348-368 (2000)
• [文献書誌] 中島主恵: "Stable transition layers in a balanced bistable equation"Differential Integral Equations. Vol.13. 1025-1038 (2000)
• [文献書誌] 竹内慎吾: "Positive solutions of a degenerate elliptic equation with logistic reaction"Proc.Amer.Math.Soc.. Vol.129,No.2. 433-441 (2001)
• [文献書誌] 竹内慎吾: "Behavior of solutions near the flat hats of stationary solutions for a degenerate parabolic equation"SlAM J.Math.Anal.. Vol.31,No.3. 678-692 (2000)