非線形拡散方程式系および関連する界面問題の解析

2001 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 12640224
• 研究機関: 早稲田大学
• 研究代表者: 山田 義雄 早稲田大学, 理工学部, 教授 (20111825)
• 研究分担者: 廣瀬 宗光 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 学振研究員 (50287984) ; 田中 和永 早稲田大学, 理工学部, 教授 (20188288) ; 大谷 光春 早稲田大学, 理工学部, 教授 (30119656) ; 竹内 慎吾 学習院大学, 理学部, 助手 (00333021) ; 中島 主恵 東京水産大学, 水産学部, 助教授 (10318800)
• キーワード: 反応拡散方程式 / Lotka-Volterra型 / 正値定常解 / Shigesadaモデル

研究概要

今年度の研究成果は、次のような準線形拡散項を含む反応拡散方程式系u_l=Δ[(1+αν)u]+uf(u,ν),ν_l=Δν+νg(u,ν)に関するものが中心である。このシステムは生存競争する2種の生物の棲み分けを記述する数理モデルとしてShigesadaらのグループによって提案されたものである。未知関数u,νは個体数密度を現し、非線形拡散項はランダムな拡散に加え、密度にも拡散が依存していることを意味している。反応項f,gはu,ν間の相互作用を表し、競合型モデルであるか、または捕食者と被捕食者の関係を扱うprey-predator型モデルである。
(1)Lotka-Volterra型の反応項を持つShigesadaモデルに対する時間大域解の存在については、従来知られている結果は空間次元が3以下のケースに限られていた。また、空間次元についての制約をはずそうとすると、反応項に関する制約条件が必要であった。このような状況下で、本研究では空間次元や初期データの大きさに制限をおかなくても時間大域解が一意的に存在することを示すことができた。うまくいった理由は、システムを準線形放物型方程式と半線形放物型方程式に分解し、それぞれの方程式について交互に基本解評価を効果的に適用したためである。今後は、大域解の一様有界性を示すことや解の漸近挙動の解析などの重要なテーマを研究したい。
(2)Shigesadaモデルに対する定常問題について、正値定常解は共存解として大きな意味があり、解が存在するための十分条件については研究代表者達によってある程度の結果は知られている。本研究においては同次Dirichlet境界条件下で共存解がいくつ存在するかを集中的に調べた。その結果、非線形拡散の効果が非常に大きいという特別な状況下ではprey-predatorモデルについて共存解が3個以上存在し得ることを示した。解の個数を調べる間題は今後も数値実験と平行しながら進めていきたい。

研究成果

• [文献書誌] 山田義雄: "Positive solutions for Lotka-Volterra competition system with diffusion"Nonlinear Analysis. Vol.47. 6085-6096 (2001)
• [文献書誌] 大谷光香, 杉山由恵: "A method of energy estimates in L^∞ and its application to porous medium equations"J. Math. Soc. Japan. Vol.53, No.4. 745-789 (2001)
• [文献書誌] 足達慎二, 田中和永: "Multiple positive solutions for nonhomogeneous elliptic equations"Nonlinear Analysis. Vol.47. 3783-3793 (2001)
• [文献書誌] 足達慎二, 田中和永: "Existence of positive solutions for a class of nonhomogeneous elliptic equations in R^N"Nonlinear Analysis. Vol.48. 685-705 (2002)
• [文献書誌] 中島主恵: "Multi-layered stationary solutions for a spatially inhomogeneous Allan-Cahn equation"Nonlinear Analysis. Vol.47. 825-836 (2001)
• [文献書誌] 竹内慎吾: "Asymptotic behavior of solutions for partial differential equations with degenerate diffusion and logistic reaction"Nonlinear Analysis. Vol.47. 1715-1724 (2001)
• [文献書誌] 竹内慎吾: "Positive solutions of a degenerate elliptic equation with logistic reaction"Proc. Amer. Math. Soc.. Vol.129. 433-441 (2001)
• [文献書誌] 竹内慎吾: "Multiplicity result for a degenerate elliptic equation with logistic reaction"J. Differential Equations. Vol.137. 138-144 (2001)
• [文献書誌] 愛木豊彦, 今井仁司, 石村直之, 山田義雄: "One-phase Stefan problems for sublinear heat equations : Asymptatic behavior of solutions"Communications in Applied Analysis. (予定). (2002)
• [文献書誌] 愛木, 今井, 石村, 山田: "Well-posedness of one-phase Stefan problems for sublinear heat equations"Nonlinear Analysis. (予定). (2002)
• [文献書誌] 廣瀬健文, 山田義雄: "Multiple existence of positive solutions of competing species equations with diffusion and large interactions"Adv. Math. Sci. Appl.. (予定). (2002)
• [文献書誌] 中島主恵, 田中和永: "Clustering layers and boundary layers in spatially inhomogeneous phase transition problems"Ann. Inst. H. Poincare Anal. Non Lineaire. (予定). (2002)
• [文献書誌] 廣瀬宗光, 太田雅人: "Structure of positive radial solutions to scalar field equations with harmonic potential"J. Differential Equations. (予定). (2002)