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ユタ大学のBestvina氏との共同研究で、写像類群の全ての部分群の2次有界コホモロジーを決定した。
定理:Sをコンパクトで向きが付く曲面とする。Mod(S)をその写像類群とする。GをMod(S)の部分群とする。このとき、Gは有限位数のアーベル群を含むか、または、Gの実数係数2次有界コホモロジーは無限次元のベクトル空間である。
証明は、Sに付随する「カーブ複体」X(S)へのMod(S)の作用を使う。Xの幾何学はMinskyとMazurによって、最近、研究が進んでいる。我々は、一般に離散群の距離空間への作用について「Weekly Properly Discontinuous」という概念を導入し、Mod(S)のX(S)への作用が、それを満たすことを示した。
上の定理は、次ぎのような重要な系を持つ。
系:Mod(S)をコンパクト、向きが付く曲面の写像類群とする。Gをランクが2以上のリー群の格子群とする。このとき、GからMod(S)への準同型写像の像は、常に有限。
この系は、数年前にKaimanovitchによって、Mod(S)のポアソン境界を使うことによって示されていた。我々の結果は、有界コホモロジーを使う全く新しい手法である。この手法は、格子からの準同型のターゲットの群を変えられる点で、より汎用性がある。
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