| 研究概要 |
本年度は、ツイスター方程式と四元数部分多様体との関係についての結果を得ることに成功し、その応用として二つの結果を導くことができた。主な成果は次の通りである。
1.四元数多様体上では4次元リーマン多様体上で定義されるディラック作用素、ツイスター作用素の自然な拡張とみなせる微分作用素が存在する。とくにツイスター作用素に注目することにより、ツイスター方程式をみたす切断(ツイスター切断)の零点集合が四元数部分多様体となることを示すことができた。またツイスター切断はツイスター空間上では複素正則切断に対応する。そこで複素代数幾何の方法を適用することが可能となり、たとえば零点集合の連結性もコホモロジカルな情報から判定できることを示すことができた。この理論は以下のような応用をもつ。
2.リー群Spin(7),G_2型の四元数対称空間において、上記ツイスター切断の理論を用いるとそれぞれ、G_2,A_2型の四元数対称空間がツイスター切断の零点集合として得られることがわかる。この事実をツイスター空間上で考慮することにより、Koszul複体と呼ばれるある層の完全系列を得ることができる。するとこれら四元数部分多様体上のASD束に関するコホモロジーの情報が求めたいコホモロジーの情報を与えることがわかる。このようにして、Spin(7),G_2型の四元数対称空間上のあるASD接続のモジュライ空間の完備性を証明することに成功した。
3.モジュライの「境界」に現われる「特異ベクトル束」の特異点集合を、上記(2)内の四元数対称空間上で決定済みであったが、どちらの場合においても特異点集合として現れるのは、ツイスター切断の零点集合であることがわかる。したがって、そのポアンカレ双対はツイスター作用素の定義されているベクトル束の次数のもっとも高いチャーン類であることがわかる。
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