| 研究概要 |
K(r)で結び目K上のsloperに沿ったDehn surgeryで得られる三次元多様体を表すこととする。予想「Kを双曲結び目とする。K(r)がレンズ空間になるとすると、Kは以下の2つの条件を満たす。(1)Kはファイバー結び目、(2)Kはトンネル数1」を解決する試みの第一歩として、1-1結び目のunknotting tunnelの振る舞いについて研究した。特に、曲面上のcurve complexという概念を用いて、いつトンネル数1の結び目がそのトンネルに付随した1-1分解を持つかを書き下すことに成功した。結果の一つは以下である。
Kを三次元球面S^3内の結び目とし、(S^3,K)がsemi-stabilized(2,0)-splittingを持つとする。このとき、以下の一つが成立する。(1)Kは自明な結び目、(2)Kはこの(2,0)-splittingに付随した1-1分解をもつ、(3)Kはトーラス結び目である。
ここで、semi-stabilizedという概念はHempelが導入したcurve complex上の距離を精密化した概念である。この結果は「Genus two Heegaard splittings of the exteriors of knots and the disjoint curve property」というタイトルの論文にまとめ投稿中である。
そして、現在はこの結果をふまえより一般の状況を解析するために、(2,0)-splittingがK-strongly irreducibleという条件を持つとき、Scharlemann-RubinsteinによるGraphicのテクニックを経由して得られる結果を検討中である。
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