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超伝導現象を表現する方程式としてGinzburg-Landau方程式がある。これは複素数に値を取る秩序パラメータと磁場による方程式系で表されているが、以前からこの方程式に関する研究は多く近年特に渦糸(解の零点)の構造に関する研究が注目を集めている。この渦糸の出現する位置、またはその挙動を調べることは超伝導現象を応用する上で重要なことである。
超伝導体が凸領域でありNeumann境界条件の場合では非定数解は全て不安定になってしまう事が知られている。つまり領域内に現われた渦糸は衝突するなり境界に吸収されるなどして消滅してしまう。このように渦が不安定な状況では電磁誘導が引き起こされ電圧が低下し、ひいてはエネルギーのロスを招くこととなり、応用上好ましくはない。そこで渦糸が消滅しないで安定に領域内に存在するためには領域の幾何学的形状を考慮して行かなくてはならない。領域の形状が特異点の挙動にたいしてどのように影響を与えるかを調べることは数学的にも物理的にも興味のある問題である。
そこで、本年度の研究においては時間差分型汎関数の方法の応用として、磁場の効果を無視できるものと仮定し、薄いが厚みの変化する超伝導体における特異点の挙動の数値シミュレーションを行なった。この結果は現在知られている数学的結果と一致したので、数値スキームとしての信憑性を確認することができた。また、現在知られている以外にも安定的な解を数値的に発見することができた。現在いろいろな形状の超伝導体にたいして数値実験を繰り返しているところである。
今後は数値解析的な考察、特に領域の分割の幅・時間間隔の関係について考察して行くことが大きな課題である。
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