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超伝導方程式を表現する方程式としてGinzburg-Landau方程式がある。これは複素数に値をとる秩序パラメータと磁場とによる方程式系で表されているが、以前からこの方程式に関する研究は多く近年特に渦糸(解の零点)の構造に関する研究が注目を集めている。この渦糸の出現する位置、またはその挙動を調べる事は超伝導現象を応用する上で重要な事である。
本年度の研究としては時間差分型汎関数を用いた数値計算法の応用として、磁場の効果を無視できると仮定した、薄いが厚みの変化のある超伝導体における特異点の挙動について数値シミュレーションを行った。この結果は現在予想できる数学的結果と一致したので数値スキームとしての信憑性を確認する事が出来た。現在は磁場の効果を考えた数値計算を計画中である。
また、この時間差分型汎関数の応用として双曲型自由境界問題の数値計算がある。これは『平面に貼り付けられた膜(テープ)の境界を鉛直方向に持ち上げる事によって、この膜(テープ)をはがそうとする。剥がれ際の挙動を調べよ』という物理モデルから導かれた問題である。この場合剥がれ際に特別にかかる力が存在するのでデルタ関数が非線形項になる。そこでこれをLagrange形式で書き下す事により、変分問題に変えて数値計算を行った。今回は特に一次元(テープである)事と『はがれ際』が滑らかである事を仮定してEuler-Lagrange方程式を解く事により数値計算・数学解析双方からの結果を得ることが出来た。これらの研究により、解の大域的存在についての十分条件・境界の周期的な挙動についての新たな知見を得る事が出来た。今後は次元を増やした場合の数値計算・数学解析を行う事が課題である。
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