| 研究概要 |
本研究の目的は弾性方程式の解の性質をより精密に解明することである.本年度は時間局所解の存在を示すために必要な初期値の滑らかさについて考察している.
方法はBourgain氏によって開発されたフーリエ制限ノルム法を用いている.フーリエ制限ノルム法はエネルギー解を考える上で重要であり,最近多くの方程式に応用されている.これまでに分かったことを以下に述べる.弾性方程式に2つの偏微分作用素を作用させ弾性波を横波,縦波に分けることによって2つの方程式が得られる.それぞれの方程式に現れる非線型項はいくつかの項からなり,ある項だけ取り出し他の項を無視してフーリエ変換を行うと,プラズマに現れるクライン・ゴルドン・ザハロフ方程式と同じタイプであることが分かった.この方程式はやはり伝播速度が違う連立半線型波動方程式であり,初期値の条件を弱めて時間局所解を構成できることは知られている.よってクライン・ゴルドン・ザハロフ方程式の非線型項の評価法にしたがって重みつき関数を定め関数空間を適当に選ぶことにより,この2次の非線型項の評価式を導くことはできた.
無視した他の項の中に零形式と呼ばれる,非常に性質のよい項が入っていることが分かった.既知の結果として,この零形式の項をもった波動方程式は初期値の滑らかさを弱めて時間局所解を構成できる.以上のことから考察すると,方程式の非線型項には性質の異なる3種類の項が入っており,解の滑らかさはこれらの項の組み合わせに依存していると思われ非常に興味深い.
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