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量子力学において一次元の一体問題は最も基本的な固有値問題である。
本研究では、量子群に起因する可解な場の理論および統計力学における転送行列法を、exact WKB法と組み合わせる事により、その固有値問題および解の大域的性質を特徴づける量の評価などを定量的に行った。特に、巨視的量子トンネル現象と深いつながりにある非常に浅い量子二重井戸系に関して詳細な研究を行なった。これによりχ^6-αχ^2を含む一連のポテンシャル族の背後に、1の冪乗根における量子群の構造が隠されていることが明らかになった。(発表論文1)この構造を利用して、これら一連のポテンシャル族に対して波動関数を構成することなしに、エネルギー準位を決定した。
現在、この結果をさらに拡張して非エルミートな量子力学系にあらわれるパリティ時間不変性の自発的破れを我々の枠組みのなかで理解する試みを行っている。
このような方法論は、シュレディンガー方程式、すなわち二階の線形微分方程式にとどまらず、さらに高階の線形微分方程式系に適用可能であることが本研究を通して明らかになりつつある。特にA型と分類される高階線形微分方程式系に関しては線形微分方程式系と、線形差分方程式系が相補的にあらわれ、双方の立場から興味深い結果が得られた。またB型と分類される線形差分方程式系の解析に対しても量子アフィン代数的構造をもつ、因子化演算子が自然にあらわれ、量子アフィン代数の既約指標に対し新しいワイル型の指標公式が導かれることを明らかにした。(発表論文2)
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