| 研究概要 |
研究代表者は,生成的な線叢の特異点の分類を実施し,そのリストが3次元空間の間の一般の滑らかな写像の特異点の生成的特異点と同値になることを示した.また,線叢のなかで重要なものとして,ある曲面の法線からなる線叢(法線叢)があるが,その特徴付けとして,3次元空間の余接束への標準的な持ち上げがラグランジュはめ込みとなることが上げられることを示した.その結果として,等積アファイン微分幾何学に現れるアファイン法線叢が(ユークリッド構造の元では)法線叢となることを示した.このことにより,アファイン法線叢の放物的曲面が焦面となることがわかる.この事実は平面曲線の場合は,研究代表者および分担者による従来の研究で知られていて,アファイン法線叢の場合も予想されていたことである.しかし,その生成的特異点の分類が(ユークリッドの意味の)法線叢と同値になるかどうかという問題は未だ未解決の課題である.
また,線織面とある種の特殊曲線の関係を研究し,従来から知られている,定傾曲線およびベルトラン曲線が載っている線織面のガウス曲率や平均曲率とそれぞれが深く関係していることを明らかにした.さらに,これらの特殊曲線の一般化として新たに第2定傾曲線という概念を定義し,その曲線の載っている線織面の特徴付けを行った.その結果、錐面上の測地線となるべき曲線がその中に含まれており、その種の曲線の存在性により、錐面を特徴付けることができた。
佐野は,平面曲線の中心アファイン微分幾何学に特異点論を応用することを試みそこに現れる,中心アファイン縮閉線(2次元の場合の線叢の放物面に対応する曲線)の特異点と中心アファイン不変量との対応を世界に先駆けて求めた.その詳しい解析は今後の課題である。
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