| 研究概要 |
1.漸近挙動の一般論及びループ空間への適用.
一般に推移確率密度を持つとは限らない対称拡散過程の短時間漸近挙動について研究した.対応するディリクレ形式が平方場作用素を持つときVaradhan型の漸近挙動が内在距離を用いて記述できることはこれまでいくつかの仮定の下で知られていたが,今回J.A.Ramirez氏との共同研究で,付加条件なしで成立することを示した.これにより,特に興味を持たれていたリーマン多様体のループ空間におけるOrnstein-Uhlenbeck過程の場合について肯定的な結論を得た.推移確率密度を持つ有限次元空間上の拡散過程についても,生成作用素が準楕円性をみたさないとき,この主張は新しい結果を与える.また,リー群上のループ空間の場合に内在距離が集合間距離に一致することを,Rademacherの定理をこの場合に証明することにより示した.現在論文を準備中である.
2.ウィーナー空間の領域上の解析.
(1)有限次元空間における変分問題で有用なBV関数の理論を抽象ウィーナー空間上で展開した.特に(我々の定義した)BV関数の一般化されたグラディエントは,自然なディリクレ形式が定める容量0の集合にマスを持たないベクトル値測度であることが示される.この応用として,定義関数がBV関数であるような集合上の反射壁Ornstein-Uhlenbeck過程について,そのSkorohod型表現を与えた.これは福島正俊氏との共同研究であり,結果を纏めた論文は雑誌に掲載予定である.
(2)有限次元空間上の領域の場合,境界についての適当な条件の下,ソボレフ関数は領域上の滑らかな関数で近似される.これと類似の結果をウィーナー空間の凸領域の場合に示した.この問題は領域上の自然なディリクレ形式における定義域の一意性の問題と密接に関連する.現在論文を準備中である.
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