| 研究実績の概要 |
A型Springerファイバーのコホモロジー環を記述するDeConcini-Procesi-Tanisakiの結果を一般化した予想を定式化した. それにはBraden-Licata-Proudfoot-Websterによるシンプレクティック双対性が関わっていることを発見した. 具体的には, 錐的シンプレクティック特異点解消のコホモロジー環が, そのシンプレクティック双対のアフィン化の固定点スキームの座標環と次数付き環として同型になるだろうという予想を立てた. そしてこの予想をA型S3多様体, ハイパートーリック多様体, アフィン平面上の点のHilbertスキームの場合にそれぞれ証明した. その証明は各々の場合に両方を具体的に表示して明示的に同型を作るというものであり, より自然な証明が期待される.
対角的余不変式環の組み合わせ論に関する主要な予想としてHaglund-Haiman-Loehr-Remmel-Ulyanovによるshuffle予想と呼ばれる公式がある. Haimanによりこの公式の片側はHilbertスキームの代数幾何を用いて自然に解釈できる. 一方でもう片側はA型アファインSpringerファイバーのホモロジーを用いた解釈を与えることができることを以前に示した. 上の予想はコホモロジーを別の空間の代数幾何的な対象で記述するという意味で, このshuffle予想の幾何学的な解釈とよく似ている. 両者の間の具体的な関係を理解することは今後の課題である.
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