| 研究概要 |
3次元特殊ラグランジュ部分多様体と可積分系の対応を,ループ群論の手法を用いて定式化することをその目的とした.具体的には,一般化されたワイエルシュトラス型表現公式とよばれる調和写像の構成法を応用して,複素ユークリッド空間の3次元特殊ラグランジュ錐及び戸田格子方程式を構成し,その関係性を考察した.その対応自体の定式化は未だ考察中であるが,特殊ラグランジュ錐を与える上記表現公式の初期値となるループ群値正則1形式を完全に決定した.また,特殊ラグランジュ錐が非特異及び自明(3次元複素ユークリッド空間内の3次元実ベクトル空間)となる場合の上記正則1形式の形も定めることが出来た.
橋本・酒井氏は論文"Cohomogeneity one special Lagrangian submanifolds in the cotangent bundle of the sphere"の中で,斉次多項式として複素錐を与え,それがカラビ-ヤウ多様体であることを証明したのであるが,本年度はこの複素錐の特殊ラグランジュ部分多様体を,今までの研究からの類推により構成することを試みた.これは現在進行中であるが,(複素ユークリッド空間でない)一般のカラビ-ヤウ多様体の特殊ラグランジュ部分多様体の例はまだあまり得られておらず,実際に構成が出来れば,特殊ラグランジュ部分多様体そのものの性質等を考察するのに意義がある.また,上記の類推が成り立てば,同時に対応する可積分系が得られる可能性が大いにあり,これは可積分系理論の観点からも大変興味深い.
尚,得られた結果を単著論文"A construction of special Lagrangian 3-folds via the generalized Weierstrass representation"としてHokkaido Mathematical Journalに投稿・受理されており,今後掲載予定である.
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度の研究目標であった,3次元特殊ラグランジュ部分多様体と戸田格子方程式の関係を,各々から得られる等質空間同士の対応として定式化することを試みる.これにより,特殊ラグランジュ部分多様体を与える偏微分方程式と戸田格子方程式の相違をみる.並びに2年目の研究計画として,特殊ラグランジュ部分多様体に対応するループ群のクラスの幾何学的性質を考察する.さらに,今年度取り組んだ,上記の複素錐に対する特殊ラグランジュ部分多様体の構成をする.
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