研究課題
今年度は、「無限次元的な対象」であるアファイングラスマン多様体や主G束のモジュライ空間等を扱う、幾何学的ラングランズ対応の勉強を行った。とりわけGaitsgory氏とNadler氏による、幾何学的ラングランズ対応と球多様体とに関する仕事に注目したが、この球多様体というのは関数空間が「簡約型リー群の無重複表現」となるような代数多様体であり、特別な場合には可視的作用を動機付けとした「一般化カルタン分解」も与えられている。ここに現れるのはB型群とC型群との間の双対性であるが、球多様体(簡約リー群の無重複表現)を伴った幾何学的ラングランズ対応においては、その議論の中でPOPOv氏によるコントラクションの概念が用いられ、さらにこのコントラクションの背景には古典的な「積分幾何」の理論がある。これらのことには、無重複表現とリー群の幾何(分解)という私の研究課題への寄与が期待される。また、上記とは別に、古典型の群の有限次元の「無重複テンソル積表現」に関する計算を、小池・寺田の普遍指標の公式と計算機とを用いて行った。特に、具体的な計算を通し、互いの無重複テンソル積表現に現れる一つ一つの既約成分が対応するというよりも、「転置」を通して「無重複表現になるという性質」が対応しているような感触を得ることができた。このことは、安易に積分核をとって二つの関数空間の間の作用素を構成するというやり方は適切でないことを示唆しており、むしろ不変絡作用素の環に注目すべきものと思われる。
3: やや遅れている
無限次元多様体と無重複表現の関わりについては勉強をしているが、転置については、無重複テンソル積表現の具体的計算をいくつか行いはしたものの、未だその具体的な姿が見えてこないため。
バナッハ多様体や積分作用素等に対象を絞らずに、視野を広く、無重複表現とリー群の分解に関わる新しい理論を取り入れながら、研究を推進する。
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