| 研究概要 |
孤立特異点(X,x_0)の半普遍変形から構成したディスクリミナント因子の補集合の基本群を理解することを目標としている.(X,x_0)がADE特異点の場合は,よく知られているように基本群はアルティン群に表示されて,アルティン群の種々の決定問題が解かれる.更にアルティンモノイドの増大度関数も求まる.(X,x_0)が単純楕円型特異点の場合にこれらの結果を拡張したい.そうすることによって同時に,アルティン群の一般化を行う.この場合の基本群は楕円アルティン群と呼ばれており,アルティン群の場合とは異なり,群の標準的な有限表示すら知られていない.アルティン群の一般化は,不十分ながらなされており,それはガーサイド群の呼ばれている.本研究はその不十分さを補うことも目標としている.楕円アルティン群は,ガーサイド群に表示されないであろうと考えられている.
楕円アルティン群に対応させた楕円アルティンモノイドの相殺性は,既存の二重帰納法の形をとる手法では示せないクラスに属している.筆者は,相殺性を示す手法を一般化することに成功し,それが三重帰納法の形をとることをつきとめた.つまり,これまで知られていたクラスのひとつ外側を扱うことが可能になっており,ガーサイド群論の不十分さを完全に補っている.それらの結果を論文の形にまとめた.また,楕円アルティンモノイドの増大度関数を計算するための一般公式は出来上がっていたので,その計算のための具体例・手法をまとめて論文にした.また仮に,楕円アルティンモノイドが楕円アルティン群に単射に入ることが示せても,ただちに決定問題のうちのひとつである共役問題が解けることまでは言えないことが分かっている.そこで,まずは具体例を構成することを試みた.つまり,ガーサイド群には表示されないにもかかわらず,共役問題が解ける例を無数に構成した.
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| 今後の研究の推進方策 |
数年前まで「標準的である」と信じられてきた楕円ディンキン図形に対応する楕円アルティン群の表示に疑義を生じさせしむ命題を筆者は示した.すなわち,その表示に対応させたモノイドは楕円アルティン群に単射に入らないことを示した.これにより,知られている楕円アルティン群の生成系を取り換える必要が生じた.今後は,対応するモノイドの相殺性を示して,種々の決定問題を解いていくことになる.
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