| 研究分担者 |
堤 誉志雄 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (10180027)
柳田 英二 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (80174548)
高木 泉 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (40154744)
千原 浩之 東北大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (70273068)
長澤 壯之 東北大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (70202223)
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| 研究概要 |
非圧縮性理想流体の運動を支配するEuler方程式に関しては,初期条件がSobolev空間W^<s,p>(R^n),s(8184)16n/p+1に属するとき,古典解の時間局所存在が示されている.その古典解が実際は大域的に延長可能なのか,あるいは有限時刻でその滑らかを失うのかはn【greater than or equal】3に関しては未解決問題である.Beale-kato-Majda(BKM),Kato-Ponce(KP)は解uの渦度ω≡rot μに着目し,時刻t=Tでu(t)がW^<s,p>(R^n)に属する解として延長不能ならば,∫^T_O‖ω(t)‖_<L∞>dt=∞であることを示した.研究代表者の研究においては,彼らの爆発の基準(blow-up criterion)が,実際にはL^∞より広い空間であるBMOで成立することを証明した.キーとなる議論は,仮定∫^T_O‖ω(t)‖BMO^<dt>(8183)16∞なるもとで,解u(t)のL^∞(0,T;W^<s,p>(R^n))におけるアプリオリ評価を得ることである.BKM,KPらは,ソレノイダルベクトル場uにおける勾配▽uのL^∞-評価を渦度ωのL^∞-ノルムとu自身の対数型W^<s,p>-ノルム不等式によって確立し,アプリオリ評価を示した.ここに,s(8184)16n/p+1.本研究では,関数f自身に対して彼らの対数型不等式をBMO-空間へと一般化した:
‖f‖_<L∞>【less than or equal】C{1+‖f‖_<BMO>log(e+‖f‖w^<k,p>)} k(8184)16n/p
更に上記の不等式は,BMO-空間から斉次Besov空間B^^・^0_<∞,∞>へと拡張可能である:
‖f‖_<L∞>【less than or equal】C{1+‖f‖_B^^・^0_<0,r>log_^<1-1/r>(e+‖f‖_B^3_<p,q>)}, s(8184)16>n/p, 1【less than or equal】q, r【less than or equal】∞
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