表現論の代数解析

2002 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 13440006
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 柏原 正樹 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (60027381)
• 研究分担者: 谷崎 俊之 大阪市立大学, 大学院・理学研究科, 教授 (70142916) ; 中島 啓 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (00201666) ; 三輪 哲二 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (10027386) ; 中島 俊樹 上智大学, 理工学部, 助教授 (60243193) ; KIRILLOV Anatol 京都大学, 数理解析研究所, 助教授 (30346035)
• キーワード: 表現論 / 幾何学的表現論 / 結晶基底 / 量子群 / D-加群

研究概要

アフィン量子群の有限次元表現の規約指標に関して2つの大きな進展があった。
(1)一つの進展は、柏原正樹(代表者)によってアフィン量子群の有限次元表現の構造が大雑把ではあるが、見通せたことである。まず、基本重みを最高重みとする表現は必ず既約表現となり、それはスペクトルパラメータを用いて分類される。更に一般の既約有限次元は基本重みをもつ既約表現のテンソル積に埋め込まれる。
(2)第2の大きな親展はquiver多様体の幾何学を用いて得られた。
Quiver多様体の余接束のモーメント写像を用い、それにK理論を適用することにより分担者中島啓によって既約指標が完全に決定された。この指標はKazhdan-Lusztig多項式と同様に計算可能で、或る意味で、表現論、幾何学、組合せ論が結合して最終的解答が得られたことになる。
しかしながら、結晶基底をもつアフィン量子群の有限次元表現については予想があるものの解明されていない。
又、三輪哲二(分担者)により、共形場理論を用いたアフィンリー環の表現の研究が進展している。共形場理論においては代数曲線の各点にアフィンリー環の表現を付随させて、それらのテンソル積を考察するのが普通である。この点が1点に縮約した場合を考察すると、表現の中に潜む組み合わせ論的な構造が浮かび上がってくることが見いだされた。この構造は結晶基底によって見いだされた構造と似てはいるが、違うもののようである。この研究は、発展中であり、これからの進展が期待される。
又、既約指標の変形である捻れ指標に対しても、結晶基底を用いることにより、ある場合に具体的な表示が得られた(分担者内藤聡)ことも著しい。

研究成果

• [文献書誌] Kashiwara, M.: "On Level Zero Representations of Quantized Affine Algebras"Duke Math. J.. 112・1. 117-175 (2002)
• [文献書誌] Miwa, T., Feigin, B., Kedem, R., Loktev, S., Mukhin, E.: "Combinatorics of the Sl_2 spaces of coinvariants : loop Heisenberg modules and recursion"Selecta Math. (N.S.). 8・3. 419-474 (2002)
• [文献書誌] Nakajima, H.: "Quiver varieties and t-analogs of q-characters of quantum affine algebras"Ann. of Math., to appear. (発行予定). (2003)
• [文献書誌] Kashiwara, M., Tanisaki, T.: "Parabolic Kazhdan-Lusztig polynomials and Schubert varietie"J. Algebra. 2492・2. 2401-2430 (2002)
• [文献書誌] Kirillov, Anatol N., Shimozono, M.: "A generalization of the Kostka-Foulkes polynomials"J. Algebraic Combin.. 15. 27-69 (2002)
• [文献書誌] Nakashima, T.: "Irreducible Modules of Finite Dimensional Quantum Algebras of type A at roots of unity"Journal of Mathematical Physics. 43・4. 2000-2014 (2002)
• [文献書誌] 谷崎俊之: "リー代数と量子群"共立出版. 267 (2002)