研究課題
研究実績の概要は以下のとおり.量子群の表現論等において次のような成果があがった。1、柏原は、一般化されたカッツームーディリー環に対応する量子群の最高重みをもつ既約表現の研究を行い、これが通常の量子群の表現と同様に結晶基底と大域基底を持つことが示した。一般化されたカッツームーディリー環は、ボーチャードによりモンスターと呼ばれる有限単純群の研究のために導入された。この表現論と量子化は既に知られていた。この量子化に結晶基底と大域基底を導入することは、負の長さを持つ単純根の存在のため困難であったが、うまく単純根ヴェクトルの作用を定義することにより、この困難を乗り越えることができた。これによって、この表現を組み合わせ論的に研究することが可能となった。しかし、その組み合わせ論的な研究は、現在進行中である。2、三輪は、共形場理論において点が重合した場合の研究を行い、この場合の余不変空間をループリー環の表現の商で表し、その構造をしらべた。この考察により余不変空間にフィルトレーションがはいり、その次元がKostoka多項式で表されることを示した。3、谷崎は、量子群の場合にBeilinson-Bernsteinの結果を拡張し、D-加群と量子群の対応関係を証明した。半単純リー環の表現と旗多様体上のD-加群の対応は、Beilinson-Bernsteinによって示された今や古典的な結果である。この量子版を、つぎのように構成した。古典的な場合は、旗多様体が半アフィン多様体の商として実現できるので、旗多様体上のO-加群のつくる圏は、半アフィン多様体の関数環上の加群のつくる圏の商として得られる。この方法は容易に量子化することができる。古典的な場合は、この結果が幾何を通じて、例えばKazhdan-Lusztig予想の証明に応用された。量子群の場合に「幾何」にあたるものが知られていないので現時点では、この結果の応用は限られている。これを発見することがこれからの重要な課題である。
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