表現論の代数解析

2004 年度 研究成果報告書概要

• 研究課題/領域番号: 13440006
• 研究種目: 基盤研究(B)
• 配分区分: 補助金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 代数学
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 柏原 正樹 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (60027381)
• 研究分担者: 三輪 哲二 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (10027386) ; 中島 啓 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (00201666) ; 谷崎 俊之 大阪市立大学, 大学院・理学研究科, 教授 (70142916) ; 内藤 聡 筑波大学, 数学系, 助教授 (60252160) ; 中島 俊樹 上智大学, 理工学部, 助教授 (60243193) ; ANATOL Kirillov KYOTO UNIVERSITY, Research Institute for Mathematical Sciences, Associate Professor (30346035)
• 研究期間 (年度): 2001 – 2004
• キーワード: 表現論 / 結晶基底 / 量子群 / D-加群

研究概要

この計画においては、表現論の幾何学的、組合わせ論的部分に焦点をあて、1.無限次元代数の表現論、2.シンプレクティック多様体上のホロノミック系3.幾何学的表現論4.組合せ論的表現論に分けて研究することを目的とした。この4年で得られた主要な成果は次の通りである。
1.(1)可解格子系のform factorを積分で表す研究の発展として、その被積分関数を全体として考えると、そこにアフィン量子群の対称性が現れることがわかった(三輪他)。こうして得られた表現は、アフィン量子群の表現としては、正レヴェルの積分可能表現と負レヴェルの積分可能表現のテンソル積となることが示される(三輪・柏原他)。この結果の証明には、下記の(2)に述べる中島の結果が重要な鍵となる。(2)中島啓は、アフィン量子群の積分可能表現の大域基底、結晶基底の研究を行い、柏原の予想をほぼ完全に解いた。これによれば、extremalな大域基底が一般線形群の既約表現と1対1に対応することが得られる。
2.Schapiraは、シンプレクティック多様体上に標準的なスタックを構成した。これは、パラメーターをもち、それが零の時は、シンプレクティック多様体の関数環上の加群のスタックと一致する。これのホロノミー加群の研究は続行中であるが、これは数理物理とも関係して、興味ある三角圏を提供すると期待できる。
3.谷崎は、量子群の場合に、旗多様体上のD-加群と量子群の表現の対応関係を確立した。
4.中島俊樹は、アフィン量子群の旗多様体に付随した幾何結晶を考察し、その超離散化がデマズール加群の結晶基底と一致することを示した。柏原・中島俊樹は、基本重みの倍数を重みとする既約表現の結晶基底を得るため、別の旗多様体をもちいる方法を尾角と共同研究を行った。

研究成果

• [雑誌論文] Level zero fundamental representations over quantized affine algebras and demazure modules (2005)
  • 著者名/発表者名: Masaki, Kashiwara
  • 雑誌名: Publ.RIMS, Kyoto Univ. 41 ページ: 223-250
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [雑誌論文] Crystar bases for quantum generalized Kac-Moody algebras (2005)
  • 著者名/発表者名: Kyeonghoon Jeong, Seok-Jin Kang, Masaki Kashiwara
  • 雑誌名: Proc.London Math.Soc. 90 ページ: 395-438
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [雑誌論文] The Beilinson-Bernstein correspondence for quantized enveloping algebras (2005)
  • 著者名/発表者名: Toshiyuki Tanisaki
  • 雑誌名: Math.Z. (in press)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [雑誌論文] Geometric crystals on Schubert varieties (2005)
  • 著者名/発表者名: Toshiki Nakashima
  • 雑誌名: Journal of Geometry and Physics 53 ページ: 197-225
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [雑誌論文] Crystal bases for quantum generalized Kac-Moody algebras (2005)
  • 著者名/発表者名: Kyeonghoon Jeong, Seok-Jin Kang, Masaki Kashiwara
  • 雑誌名: Proc.London Math.Soc. 90 ページ: 395-438
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [雑誌論文] Level zero fundamental representations over quantized affine algebras and Demazure modules (2005)
  • 著者名/発表者名: Masaki Kashiwara
  • 雑誌名: Publ.RIMS, Kyoto Univ. 41 ページ: 223-250
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [雑誌論文] The Beilinson-Bernstein correspondence for quantized enveloping algebras (2005)
  • 著者名/発表者名: Toshiyuki Tanisaki
  • 雑誌名: Math.Z. (to appear)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [雑誌論文] Form factors and action of U_<√<-1>>(sl^^〜_2) on ∞-Cycles (2004)
  • 著者名/発表者名: M.Jimbo, T.Miwa, E.Mukhin, Y.Takeyama
  • 雑誌名: Commun.Math.Phys. 245 ページ: 551-576
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [雑誌論文] Crystal bases and two-sided cells of quantum affine algebras (2004)
  • 著者名/発表者名: Jonathan Beck, Hiraku Nakajima
  • 雑誌名: Duke Mathmatical Journal 123 ページ: 335-402
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [雑誌論文] The represenation type of Hecke algebras of type B (2004)
  • 著者名/発表者名: Susumu Ariki, Andrew Mathas
  • 雑誌名: Asvances in Mathamatics 181 ページ: 134-159
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [雑誌論文] On Kashiwara's equivalence in positive characteristic (2004)
  • 著者名/発表者名: Masaharu Kaneda
  • 雑誌名: manuscripta math. 114 ページ: 457-468
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [雑誌論文] Form factors and action of U_<√<-1>>(<sl>^^^〜_2)on ∞-Cycles (2004)
  • 著者名/発表者名: M.Jimbo, T.Miwa, E.Mukhin, Y.Takeyama
  • 雑誌名: Commun.Math.Phys. 245 ページ: 551-576
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [雑誌論文] Spaces of coinvariants and fusion product, I : from equivalence theorem to Kostka polynomials (2004)
  • 著者名/発表者名: B.Feigin, M.Jimbo, R.Kedem, S.Loktev, T.Miwa
  • 雑誌名: Duke Mathematical Journal 125 ページ: 549-588
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [雑誌論文] Crystal bases and two-sided cells of quantum affine algebras (2004)
  • 著者名/発表者名: Jonathan Beck, Hiraku Nakajima
  • 雑誌名: Duke Mathematical Journal 123 ページ: 335-402
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [雑誌論文] An invitation to the generalized saturation conjecture (2004)
  • 著者名/発表者名: Anatol N.Kirillov
  • 雑誌名: Publ.RIMS, Kyoto Univ. 40 ページ: 1147-1239
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [雑誌論文] The representation type of Hecke algebras of type B (2004)
  • 著者名/発表者名: Susumu Ariki, Andrew Mathas
  • 雑誌名: Advances in Mathematics 181 ページ: 134-159
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [雑誌論文] On certain maximal cyclic modules for the quantized special linear algebra at a root of unity (2003)
  • 著者名/発表者名: Masaharu Kaneda, Toshiki Nakashima
  • 雑誌名: Pacific Journal of Mathmatics 211 ページ: 273-282
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [雑誌論文] Path model for a level-zero extremal weight module over a quantum affine algebra (2003)
  • 著者名/発表者名: Satoshi Naito, Daisuke Sagaki
  • 雑誌名: IMRN 32 ページ: 1731-1754
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より