数論アルゴリズムの研究と数論システムの開発

2002 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 13440013
• 研究機関: 東京都立大学
• 研究代表者: 中村 憲 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (80110849)
• 研究分担者: 木田 雅成 電気通信大学, 電気通信学部, 助教授 (20272057) ; 岡本 龍明 NTT, PF研, フェロー(研究職) ; 倉田 俊彦 東京都立大学, 理学研究科, 助手 (40311899) ; 長尾 孝一 関東学院大学, 工学部, 講師 (00308321) ; 福田 隆 日本大学, 生産工学部, 助教授 (00181272)
• キーワード: 数論アルゴリズム / 加法鎖 / 楕円曲線 / 暗号理論 / 数論システム / SIMATH / 64ビット / 円楕円法CEM

研究概要

アルゴリズムの解析や計算機実験により,加法鎖,岩澤不変量,楕円曲線,多項式環の素イデアル分解,超平面配置などに関して,別記した雑誌論文にある様な数論アルゴリズムや,それに関する多くの理論的成果を得られた.
日本応用数理学会「数論アルゴリズムとその応用」研究部会(JANT)の研究集会(第7回-第9回)を毎回約50名の参加者で開催し,その経過をhttp://ntw.e-one.uec.ac.jp/jant/で公表した.この成果として日本応用数理学会和文論文誌に,その特集号を組み,暗号理論などに関する産学公連携の研究の発展に貢献してきた.
数学ソフトウェア国際研究集会(ICMS2002)を,北京で2002年8月17日-19日に共同で開催した.そこでは,約110名の参加者と約60の講演が行われ,数論アルゴリズムと数論システムを含む,幅広い分野での貴重な研究交流がせれ,今後の発展の出発点となった.
これらを通じて基本的な数論アルゴリズムの研究を深め,海外の従来のシステムの経験の調査・研究をしてきた.とりわけ数論システムPari/GPの創始者Cohen, H.との交流,数論システムKant/Kashの創始者で海外共同研究者でもあるPohst, M.の来日による共同研究の成果は,システム構築にとり重要な意義であった.
数論システムに関しては,ドイツで開発されてきたSIMATHを,2002年から引継いで開発を続けた.その詳しい経過はホームページhttp://simath.info/と,別記した雑誌論文に述べてある.今年度は,このシステムの64ビットプラットフォームへの実装に成功し,それを2003年1月9日にVer.4.6としてリリースした.また,数体の単数・類数計算方法の一つである,円楕円法CEMのパッケージ化に成功し,現在では三次体迄の実装ができている.これについても近々,新版をリリースする予定である.

研究成果

• [文献書誌] Bahig, H.M., Nakamura, K.: "Some properties of nonstar steps in addition chains and new cases where the Scholz conjecture is true"J.Algorithms. 42. 304-316 (2002)
• [文献書誌] Matsui, T., Nakamura, K., et al.: "SIMATH-recent developments in TMU"Mathematical Software, World Sci. Publishing. 505-506 (2002)
• [文献書誌] 小林 大輔, 中村 憲: "数式処理システムSIMATHの紹介"数式処理J. JSSAC. 9-2. 42-46 (2002)
• [文献書誌] Kurata, T.: "Intersection and singleton type assignment characterizing finite Bohm-trees"Information and Computation. 178. 1-11 (2002)
• [文献書誌] Kida, M.: "Computing elliptic curves using KASH"Mathematical Software, World Sci.Publishing. 250-260 (2002)
• [文献書誌] Kida, M.: "Potential good reduction of elliptic curves"J.Symbolic Comput.. 34. 173-180 (2002)
• [文献書誌] Fukuda, T., Komatsu, K.: "An application of Siegel modular functions to Kronecker's limit formula"Lecture Notes in Computer Science. 2369. 108-119 (2002)
• [文献書誌] 田谷 久雄, 福田 隆: "岩澤不変量の計算"日本応用数理学会論文誌. 12. 293-306 (2002)
• [文献書誌] Fukuda, T., Komatsu, K.: "On Minkowski units constructed by special values of Siegel modular functions"J. de Theorie des Nombres de Bordeaux. 15. 133-140 (2003)
• [文献書誌] Tsumura, H.: "On Some Combinatorial Relations for Tornheim's Double Series"Acta Arith.. 105. 239-252 (2002)
• [文献書誌] Yokoyama, K.: "Prime decomposition of polynomial ideals over finite fields"Mathematical Software, World Sci. Publishing. 217-227 (2002)
• [文献書誌] Okazaki, R.: "Geometry of a cubic Thue equation"Publ. Math. Debrecen. 61. 267-314 (2002)
• [文献書誌] Terao, H.: "Moduli space of combinatorially equivalent arrangements of hyperplanes and logarithmic Gauss-Manin connections"Topology and its appl.. 118. 255-274 (2002)
• [文献書誌] Terao, H.: "Multiderivations of Coxeter arrangements"Inventiones mathematicae. 148. 659-674 (2002)
• [文献書誌] Terao, H.: "Algebras generated by reciprocals of linear forms"Journal of Algebra. 250. 549-558 (2002)
• [文献書誌] Kurihara, M.: "On the Tate Shafarevich groups over cyclotomic fields of an elliptic curve with supersingular reduction. I"Invent. Math.. 149. 195-224 (2002)
• [文献書誌] Nakamura, H.: "Limits of Galois representations in fundamental groups along maximal degeneration of marked curves. II"Proc. Sympos. Pure Math.. 70. 43-78 (2002)
• [文献書誌] Nakamura, H., Wojtkowiak, Z.: "On explicit formulae for l-adic polylogarithms"Proc. Sympos. Pure Math.. 70. 285-294 (2002)