調和写像・極小部分多様体およびYang-Mills-Higgs方程式の微分幾何

2001 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 13440025
• 研究機関: 東京都立大学
• 研究代表者: 大仁田 義裕 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (90183764)
• 研究分担者: 長友 康行 九州大学, 数理学研究科, 助教授 (10266075) ; 宮岡 礼子 上智大学, 理工学部, 教授 (70108182) ; MARTIN Guest 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (10295470) ; 江尻 典雄 名古屋工業大学, 機械工学科, 教授 (80145656) ; 宇田川 誠一 日本大学, 医学部, 講師 (70193878)
• キーワード: 調和写像 / 極小部分多様体 / Yang-Mills-Higgs方程式 / モジュライ空間

研究概要

本年度は、研究課題「調和写像・極小部分多様体およびYang-Mills-Higgs方程式の微分幾何」の一年目であり、活発な研究活動が行なわれた。研究分担者・岡睦雄、赤穂まなぶ、守屋克洋らは、活発に海外での国際研究集会に参加し研究成果発表・意見交換・共同研究等を行った。第48回幾何学シンポジウム、筑波大研究集会も部分的に本研究課題の一環として行われ援助した。研究分担者・長友康行は、四元数ケーラー多様体のツイスター断面の零点集合の構造について研究発表講演した。研究分担者・清原一吉は、可積分測地流を持つ2次元多様体の最近の研究を発表した。
研究代表者は、シンプレクティック幾何学におけるラグランジュ部分多様体のモジュライ空間の研究の観点から、ケーラー多様体内のコンパクト極小ラグランジュ部分多様体のハミルトン安定性問題を研究した。従来、複素射影空間内に埋め込まれたハミルトン安定なコンパクト極小ラグランジュ部分多様体なモデルは、実射影部分空間とクリフォード・トーラスのみが知られていたが、「複素射影空間内に埋め込まれた既約なコンパクト全実極小平行部分多様体はハミルトン安定である」ことを証明することにより、多くの新しいそのようなモデルが得られた。それと同時に、さらなる研究の問題と動機づけを与えている。研究代表者は、この研究成果を、2001年5月のフランス・ルミニーのCIRMでの調和写像に関する国際研究集会において発表講演し、ラグランジュ部分多様体の理論に関心を持つ参加の研究者たちと有益な意見交換を行った。この研究論文は、Tohoku Math.J.へ投稿された。
また、CIRMでのこの国際研究集会において調和写像論の世界的指導者James Eells教授と、調和写像の空間の構造に関する共同研究を開始する機会を得ることができた。この共同研究は、実解析的なコンパクト・リーマン多様体の間の調和写像の空間は実解析空間であるという定理の正確な証明から出発して、活発に議論・検討を行っている。現在この研究論文を作成中である。
研究分担者・宇田川誠一との有限型の調和写像に関する共同研究論文は、第9回日本数学会国際研究集会のproceedingsに出版予定である。異なるk-対称空間に附随したtwistedループ代数同士の同型問題にも関わることが明らかになり、更に進展が期待される。

研究成果

• [文献書誌] Y.Ohnita: "Geometry of the moduli spaces of harmonic maps into Lie groups via gauge theory over Riemann surfaces"International J.Math.. 12. 339-371 (2001)
• [文献書誌] Y.Ohnita: "Gauge-theoretic approach to harmonic maps and subspaces in moduli spaces""Integrable Systems, Geometry and Topology", NCTS volume, International Press. (発表予定).
• [文献書誌] Y.Ohnita: "Harmonic maps of finite type into generalized flag manifolds, and twistor fibrations"Contemporary Mathematics, the proceedings of MSJIRI Tokyo 2000, Integrable Systems in Differential Geometry. (発表予定).
• [文献書誌] Y.Ohnita: "Quantum cohomology rings of Hermitian symmetric spaces of type DIII"The proceedings of 2001 "WSES International Conference on Applied and Theoretical Mathematics". (発表予定).
• [文献書誌] Y.Ohnita: "On Hamiltonian stability of certain H-minimal Lagrangian submanifolds in Hermitian symmetric spaces"RIMS Kokyuroku, Geometry of Submanifolds and Related Topics. 1236. 31-48 (2001)
• [文献書誌] Y.Ohnita: "Harmonic Maps into Symmetric Spaces and Integrable System Theory"上智大講義録, 上智大研究会"Lie Groups and Manifolds Theory"報告集. (発表予定).