3・4次元多様体上の接触構造と葉層構造の研究

2002 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 13440026
• 研究機関: 中央大学
• 研究代表者: 三松 佳彦 中央大学, 理工学部, 教授 (70190725)
• 研究分担者: 三好 重明 中央大学, 理工学部, 教授 (60166212) ; 水谷 忠良 埼玉大学, 理学部, 教授 (20080492) ; 佐藤 肇 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (30011612) ; 太田 啓史 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (50223839) ; 森吉 仁志 慶應義塾大学, 理工学部, 助教授 (00239708)
• キーワード: 接触構造 / 葉層構造 / symplectic構造 / 双接触構造 / Anosov流 / 葉層コホモロジー / Asymptotic linking / 擬正則曲線

研究概要

代表者はAsymptotic Linkingという概念によって、3次元多様体上の、接触構造の研究と葉層構造の研究を結びつける枠組みを提唱したが、その実行のために、葉層コホモロジーを実際に計算しなければならない。これが計算できる場合が幾つか見つかり、その一部を論文として発表、またその周辺の成果を、Munchen, Wienの国際会議や、国内の研究集会で発表した。
4次元多様体上の葉層構造のコンパクト葉の自己交叉に関する研究も、一般の場合と、葉層束の場合で異なる様相を呈することが解明され始めた。葉層束の場合、先ず自明な例の構成から始めねばならない。「森田の方法」を応用してこれを実現した。
小野-太田の研究グループでは、特異点のリンクとしての接触構造とそのsymplectic filingのn特長付けに関する仕事が単純特異点、超楕円特異点の場合にほぼ完成し、フレアホモロジーの研究とともに、接触・symplectic構造に対する、Seiberg-Witten理論や擬正則曲線の理論という大域解析的な道具の応用に依る研究が進展した。
佐藤-水谷の研究グループでは、より微分方程式に近づいた接触幾何の研究を大なっている。また三好-三松の研究グループは、正のopen book分解によるfillable接触構造の構成やそこから得られる葉層構造について、fillingを用いずに3次元トポロジーだけの立場からThurstonの不等式やBennequinの不等式を示す研究プロジェクトを開始し,幾つかの場合に、オイラー類の有理数体上での非自明性を特徴付ける結果を得た。

研究成果

• [文献書誌] Shigenori MATSUMOTO, Yoshihiko MITSUMATSU: "Leafwise cohomology and rigidity of certain Liegroup actions"Ergodic Theory and Dynamical Systems. 23(in press). (2003)
• [文献書誌] Tetsuya OZAWA, Hajime SATO: "Contact transformations and their schwarzian derivatives"Advanced Studies in Pure math.. 37. 337-366 (2002)
• [文献書誌] Yusuke HAGIWARA, Tadayoshi MIZUTANI: "Leibniz Algebras Associated with Foliations"Koda : Mathematical Journal. Vol.25No.2. 151-165 (2002)
• [文献書誌] Shigeaki MIYOSHI: "A remark on torsion Euler classes of circle bundles"Tokyo J. of Math. 24. 189-194 (2001)
• [文献書誌] Hitoshi MORIYOSHI: "Operator algebras and the index theorem on foliated manifolds"Proceedings of Foliations : Geometry and Dynamics. 127-155 (2002)
• [文献書誌] Kaoru ONO: "Space of geodesics on Zoll three-spheres"Advanced Studies in Pure Mathematics. 34. 237-243 (2002)
• [文献書誌] Kaoru ONO: "Simple singularities and symplectic fillings"Contemporary Mathematics. 309. 195-197 (2002)
• [文献書誌] Kenji FUKAYA, Kaoru ONO: "Floer homology and Gromov-Witten invariant over integer of general symplectic manifolds -Summary-"Advanced Studies in Pure Mathematics. 31. 75-91 (2001)
• [文献書誌] Hiroshi OHTA: "Obstruction to and deformation of lagrangian intersection Floer cohomology"Proceeding of conference "Symplectic Geometry and Mirror Symmetry". 281-309 (2001)
• [文献書誌] Hiroshi OHTA: "Brieskorn manifold and metric of positive scalar curvature"Advanced Studies in Pure Mathematics. 34. 231-236 (2002)
• [文献書誌] Yoshihiko MITSUMATSU: "Foliations and contact structures on 3-manifolds"Proceedings of FOLIATIONS : GEOMETRTRY AND DYNAMICS in Warsaw, 2000. 75-125 (2002)
• [文献書誌] 三松佳彦, 矢野泰久: "Riemann多様体上の非圧縮流体の幾何"数理解析研究所講究録. 1260. 33-47 (2002)
• [文献書誌] 三松佳彦: "数学メモアール第1巻 3次元接触構造のトポロジー"日本数学会. 131 (2001)
• [文献書誌] 夏目利一, 森吉仁志: "数学メモアール第2巻 非可換幾何と指数定理"日本数学会. 228 (2001)