非線形偏微分方程式の定性的理論と漸近解析

2001 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 13440028
• 研究機関: 東京大学
• 研究代表者: 俣野 博 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (40126165)
• 研究分担者: ヴァイス ゲオグ 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (30282817) ; 山本 昌宏 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (50182647) ; 舟木 直久 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (60112174) ; 谷口 雅治 東京工業大学, 大学院・情報理工学研究科, 助教授 (30260623) ; 栄 伸一郎 横浜市立大学, 大学院・総合理学研究科, 助教授 (30201362)
• キーワード: 非線形偏微分方程式 / 定性的理論 / 漸近解析 / 方程式の縮約 / 解の爆発 / 特異極限 / 進行波 / 自由境界

研究概要

非線形熱方程式の爆発解の中には,爆発時刻以降も弱解として延長できるものがある.俣野は,このような延長可能な爆発解のダイナミズムを研究し,平衡解どうしを結ぶヘテロクリニク軌道で,途中で爆発を起こすものがどれぐらい存在するかを調べた.まず,M.Fila氏との共同研究(文献1)で,2つの平衡解の間に爆発解によるヘテロクリニク軌道が存在するためには,それら平衡解のモース指数の差が2以上でなければならないことを示した.その後,M.Fila氏とP.Polacik氏との共同研究(文献2)により,この条件が実は必要十分条件であることを示した.これにより,爆発解のダイナミズムの全容がかなり明らかになってきた.
舟木は,ある種のマルコフ過程の興味深い性質を調べ,その極限が非局所的な項をもつ発展方程式になることを示した(文献3).
山本は,波動方程式の逆問題を研究した.
ヴァイスは,二相障害物問題及び燃焼理論に応用が可能な特異極限問題を研究した.単調性公式と平均振動数の性質を用いることにより,ある種の二相障害物問題の解の正則性を示すとともに,自由境界のハウスドルフ次元の評価の導出に成功した(文献4).
谷口は,反応拡散系における特異摂動問題の定常解の安定性を調べるのに有効な手法である「特異極限固有値問題法」(SLEP法)を,非有界領域上の問題にも適用できるように拡張し(文献5),その成果を双安定型反応拡散系の平面状進行波の安定性解析に応用した(文献6).
中村は,回転進行波について以前得ていた結果の拡張を試み,部分的成果を得た.

研究成果

• [文献書誌] Matano, Hiroshi, (Fila, Marek): "Blow-up in nonlinear heat equations from the dynamical systems point of view"Handbook of Dynamical Systems. 2. 723-758 (2002)
• [文献書誌] Matano, Hiroshi, (Fila, Marek): "Existence of L^1 connections between equilibria of a semilinear parabolic equation"J. Dynamics and Differential Equations. (掲載予定).
• [文献書誌] Funaki, Tadahisa (Biler, P.): "Interacting jump Markov processes associated with nonlocal quadratic evolution problems"Probability and Mathematical Statistics. (掲載予定).
• [文献書誌] Weiss, Georg: "An obstacle-problem-like equation with two phases : pointwise regularity of the solution and an estimate of the Hausdorff dimension"Interfaces and free Boundaries. 3. 1-8 (2001)
• [文献書誌] Taniguchi, Masaharu: "A uniform convergence theorem for singular limit eigenvalue problems"Advances in Differential Equations. (掲載予定).
• [文献書誌] Taniguchi, Masaharu: "Instability of planar traveling fronts in bistable reaction-diffusion systems"Discrete and Continuous Dynamical Systems, Series B. (掲載予定).