リスク尺度に基づくデリバティブ価格の研究

2001 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 13440029
• 研究機関: 東京大学
• 研究代表者: 楠岡 成雄 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (00114463)
• 研究分担者: 関根 順 大阪大学, 大学院・基礎工学研究科, 講師 (50314399) ; 高橋 明彦 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (50313226) ; 吉田 朋広 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (90210707)
• キーワード: 数理ファイナンス / デリバティブ / アメリカンオプション / 数値計算 / リー環 / ヨーロピアンオプション / 加法過程 / 特性関数

研究概要

本年度はヨーロッパ型デリバティブ・バミューダ型デリバティブの数値計算手法の研究が主に進展した。まずアメリカ型のデリバティブの計算方法について、近年、値関数を多項式等で近似するという方法がLongstaff-Schwartzらにより提唱されているが、それらの方法の理論的正当性を証明すると同時に、その理論的限界についても考察した。これの理論的考察により、どのような改良の余地があるかについても明らかになりつつある。これらの議論をふまえての数値計算も実際にプログラムを組んで行いつつあるが、現在のところまだ、既に行われている数値計算の検証程度しかできておらず、はっきりとした結論は得られていない。
ヨーロッパ型デリバティブの数値計算法については既に2年前に確率微分方程式とリー環を用いた方法を提唱していたが、東京工業大学の二宮祥一氏により、実際にプログラムを組んだ場合にもかなり高速であることが示された。また、Oxford大学のT.Lyonsらにより方法の改良のアイデアが出された。これらを受けて今年度はこの手法の改良について取り組んだ。まだプログラムに載せる段階まではいっていないが、有望な方法が得られたと思っている。
また、Black-Scholesモデルでブラウン運動の項を一般の加法過程にした場合、確率分布の形が知られていないので直接、期待値を計算することはできないが特性関数を用いて数値計算により求める方法についても考察した。DE公式がある程度有効であるが、さらにそれを改良する方法について研究を行った。実際にプログラムを組んでの方法の検証は次年度に持ち越された。

研究成果

• [文献書誌] Kusuoka, Shigeo: "On a certain Metric on the Space of Pairs of a Random Variable and a Probability Measure"Journal of Mathenatical Sciences University Tokyo. 8. 343-356 (2001)
• [文献書誌] Kusuoka, Shigeo: "Laplace Approximations for Diffusion Processes on Torus : Nondegenerate Case"Journal of Mathenatical Sciences University Tokyo. 8. 43-70 (2001)
• [文献書誌] Kusuoka, Shigeo: "Law Invariant Coherent Risk Measure"Advances in Mathematical Economics. 3. 83-95 (2001)
• [文献書誌] Kusuoka, Shigeo: "Approximation of Expectation of diffusion processes and Mathematical Finance"Advanced Studies in Pure Mathematics. 31. 147-165 (2001)
• [文献書誌] Uchida, Masayuki: "Information criteria in model selection for mixing processes"Statistical Inference and Stochastic Processes. 4. 73-98 (2001)
• [文献書誌] Yoshida, Nakahiro: "Malliavin calculus and martingale expansions"Bull. Sci. math.. 125. 431-456 (2001)