| 研究課題/領域番号 |
13440031
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
数学一般(含確率論・統計数学)
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
磯 祐介 京都大学, 情報学研究科, 教授 (70203065)
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| 研究分担者 |
今井 仁司 徳島大学, 工学部, 教授 (80203298)
山本 昌宏 東京大学, 数理科学研究科, 助教授 (50182647)
西村 直志 学術情報メディアセンター, 教授 (90127118)
登坂 宣好 日本大学, 生産工学部, 教授 (00059776)
大西 和榮 茨城大学, 理学部, 教授 (20078554)
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| 研究期間 (年度) |
2001 – 2003
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| キーワード | Tikhonov正則化法 / 逆問題 / 非適切問題 / 数値解析 / 多培長数値計算 / スペクトル法 / 区間演算 |
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| 研究概要 |
本課題研究では「正則化法による数値解析」を広い意味で捉え、逆問題・非適切問題の解析手法の確立を目ざした幅広い視点からの研究を行ない成果を得た。
逆問題は医用CTや非破壊検査技術・ジオレーダー等の実用技術と関わる問題であり、その研究の進展は先端技術の革新と直結している。特に信頼できる数値解の構成は、実用上からも重要な課題となっている。その一方で、数学的には殆どの逆問題はHadamardの意味での非適切(ill-posed)であり、従来の数値解析手法の適用が困難であることが多い。大雑把な表現であるが、対象とする数理モデル(微分方程式)が安定な解を一意的にもつことが「適切(well-posed)」の意味であるので、この否定概念の非適切問題の解析が困難であることは容易に想像されよう。
このような非適性を緩和する手法として、数学においては種々の「正則化法」が提案されるている。これはパラメータを含む"正則化項"の導入によって非適切問題を適切な問題の系列で近似するもので、数値計算等においては正則化された問題を通常手法で離散化することとなる。Tikhonov正則化法はその最も汎用的かつ有名な方法である。本課題研究は、この正則化法を中心に、幅広い視点から逆問題・非適切問題の解析に取り組み、多くの成果を上げた。
特筆すべき成果は、浮動小数点数値計算の基礎であるIEEE754方式による倍精度計算環境そのものの見直しを行ない、非適切問題の数値計算を念頭においた高速多倍長数値計算環境を設計・実装したことである。これは本課題研究の研究協力者の成果に負うものであるが、これによってTikhonov正則化法の正則化パラーメタ選択に関する従来手法の問題点を指摘した。さらにこの計算環境を活かして非適切問題の高精度数値計算を行なうために、スペクトル法を基礎とするアルゴリズムを開発したことも大きな成果と言えよう。
さらに、Dirichlet-Neumann写像の局所化や積分方程式の適用も含め、逆問題・非適切問題の解の再構成手法を数学・数値解析の視点から深化させ成果を挙げている。さらに、今後は非均質な媒体における逆問題解析が重要になると考え、その解析の基礎となるフラクタル領域での熱や波の伝播の基礎理論、多倍長数値計算環境における事後誤差解析としての精度保証数値解析など、これらのあらたな解析手法の確立のための基礎研究にも光を当て、将来を示唆する先駆的な成果を挙げることができた。
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