リスク鋭感的確率制御のベルマン方程式とその応用

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 13440033
• 研究機関: 大阪大学
• 研究代表者: 長井 英生 大阪大学, 基礎工学研究科, 教授 (70110848)
• 研究分担者: 小池 茂昭 埼玉大学, 理学部, 教授 (90205295) ; 関根 順 大阪大学, 基礎工学研究科, 助教授 (50314399) ; 会田 茂樹 大阪大学, 基礎工学研究科, 教授 (90222455) ; 藤田 安啓 富山大学, 理学部, 助教授 (10209067) ; 石井 仁司 早稲田大学, 教育学部, 教授 (70102887)
• キーワード: ベルマン方程式 / ポートフェリオ最適化 / 最大値原理 / 対数ソボレフ不等式 / 指数ヘッジ / ハミルトン・ヤコビ方程式 / 緩和現象 / コルモゴロフ方程式

研究概要

1.一般的なファクターモデルのリスク鋭感的ポートフォリオ最適化問題について、無限時間範囲の場合の問題を考察した。エルゴード型ベルマン方程式の解の存在を示し、その解から最適戦略を明示的に構成する結果を得た。
2.証券価格の過去の情報のみを用いてポートフォリオを構成する部分情報下の問題に関しては、有限時間範囲の場合に最適戦略の満たすべき必要条件を逆向き確率偏微分方程式を用いて最大値原理の形で求めた。
3.同じく部分情報下の問題で、条件付ガウス型の場合に係数が退化したベルマン方程式の解により最適戦略が明示的に構成できることを示した。
4.曲率が遠方で十分早く減衰するようなリーマン多様体上で熱核の対数微分の評価を研究し、道の空間上で対数ソボレフ不等式を示した。また、Brownian rough pathと弱ポアンカレ不等式の関連を研究した。
5.数理ファイナンスに於ける最適化問題:指数ヘッジ問題について研究した。特に小さなパラメータεが存在している状況で後退確率微分方程式のパラメータに関する漸近展開を計算し、最適解/制御の漸近展開式を得た。
6.数理ファイナンスに現れる幾つかの非線形偏微分方程式の解の微分可能性を高める事によって最適制御(ポートフォリオ)を構成した。
7.石の磨耗のモデルとして曲面の凸化ガウス曲率流に関して等高面法の研究,ハミルトン・ヤコビ方程式に対する緩和現象の研究を行った。
8.係数が非有界な場合のKolmogorov方程式の解析および確率制御理論への応用を試みた。

研究成果

• [文献書誌] Hideo NAGAI: "Optimal strategies for risk-sensitive portfolio optimization problems for general factor models"SIAM Journal on Control and Optimization. 41. 1779-1800 (2003)
• [文献書誌] Hideo NAGAI: "Risk-sensitive portfolio optimization with full and partial information"Advanced Studies of Pure Mathematics. 41. 257-278 (2004)
• [文献書誌] Shigeki Aida: "On a certain semiclassical problem on Wiener spaces"Publications of Research Institute of Mathematical Science. 39. 365-392 (2003)
• [文献書誌] Shigeki Aida: "Semiclassical limit of the lowest eigenvalue of a Schrodinger operator on a Wiener space"Journal of Functional Analysis. 203. 401-424 (2003)
• [文献書誌] Jun Sekine: "An approximation for exponential hedging"Advanced Studies in Pure Mathematics. 41. 279-299 (2004)
• [文献書誌] S.Koike: "Variational inequalities for leavable bounded-velocity control"Applied Mathematics and Optimizations. 48. 1-20 (2003)
• [文献書誌] S.Koike: "Maximum principle and existence of $L^p$-viscosity solutions for fully nonlinear, uniformly elliptic equations with measurable and quadratic terms"Nonlinear Differential Equations and Applications. (to appear).
• [文献書誌] H.Ishii: "Relaxation of Hamilton-Jacobi equations"Archiv fur Rational Mechanics and Analysis. 169. 265-304 (2003)
• [文献書誌] H.Ishii: "Relaxation in an $L^\infty$-optimization problem"Proceedings of Royal Society of Edingburgh. 133. 599-615 (2003)
• [文献書誌] H.Ishii: "Asymptotic analysis for a class of infinite systems of first-order PDE : nonlinear parabolic PDE in the singular limit"Communication on Partial differential Equations. 28. 409-438 (2003)
• [文献書誌] Y.Fujita: "A comparison theorem for Bellman equations of ergodic control"Differential and Integral Equations. 16. 641-651 (2003)
• [文献書誌] Y.Fujita: "A linear PDE approach to Bellman equation of ergodic control with periodic structure"Applied Mathematics and Optimization. 47. 143-149 (2003)