超局所的平滑化効果による偏微分方程式の構造研究

2002 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 13440040
• 研究機関: 筑波大学
• 研究代表者: 梶谷 邦彦 筑波大学, 数学系, 教授 (00026262)
• 研究分担者: 若林 誠一郎 筑波大学, 数学系, 教授 (10015894) ; 平良 和昭 筑波大学, 数学系, 教授 (90016163)
• キーワード: Smoothing effect / Schrodinger equation / Dispersion / Micro local analysis / Differential equation

研究概要

偏微分方程式に対する初期値問題の解の興味ある性質の一つとして、初期値と解の滑らかさに差が生じる場合がある。典型的な例として、熱方程式の場合、初期値が不連続であっても解は正則関数になる。他方、退化した波動方程式の場合、解の滑らかさは初期値のそれより悪くなる。このように初期値に比べて解の正則性が良くなる場合を平滑効果といい、また悪くなる場合を正則損失と呼んでいる。また最近になって、シュレヂンガー方程式の解の正則生は初期値の減衰オーダーと関係あることが解ってきた。さらに、超局所的性質として、解の波面集合は方程式の主部から決まるハミルトン流に沿った初期値の減水オーダーで決まることも解ってきた。この研究では、平滑効果や正則損失を通じて偏微分方程式の分類を行うのが目的である。特にシュレヂンガー方程式の一般形である高階の分散型方程式は平滑効果を持つと期待されているが、未だ解決されていない。平成14年度は、この分散型方程式を中心に、平滑効果を持つ方程式の特徴付けを行った。この平滑効果の現象は初期値問題の解の時間的減衰問題と密接な関係があることが分かってきた。さらに、応用上も重要な問題である、非線型分散型方程式に対する初期値-境界値問題について研究を開始し、成果をあげた。また、シュレヂンガー方程式の解が時間に関して指数的減衰をするという非常に面白い現象を発見し、この現象がどのようなからくりで成り立っているのかを解明することの成功した。

研究成果

• [文献書誌] K.Kajitani, S.Spagnolo: "Strong Gevrey solrability for a system of L. P. D. O"Progress in Nonlinear D. E. and Aplications. 52. 121-142 (2002)
• [文献書誌] Y.Dan, K.Kajitani: "Smoothing effect and exponential decay of solution"Proceeding Japan Acad.. 78. 92-95 (2002)
• [文献書誌] K.Kajitani, S.Wakabayashi: "The hyperbolic operators urith characteristic vanisking"Osaka J. Math.. 39. 447-485 (2002)
• [文献書誌] K.Kajitani, A.Satoh: "Extension of solutions of kirchhoff equations"J. Math. Japan Society. (予定). (2003)
• [文献書誌] K.Kajitani: "Smoothing effect in Gevrey elasses for S.E."Marcel Dekker. (予定). (2003)
• [文献書誌] K.Kajitani: "The Cauchy problem for hyperbolic op"Marcel Dekker. (予定). (2003)
• [文献書誌] K.Kajitani, I.Vaillant: "P.D.E. and Math. Phys. in Memory of I. Leray"Birk hauser. 200 (2002)