楕円型・放物型偏微分方程式の正値解の総合的研究

2001 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 13440042
• 研究機関: 東京工業大学
• 研究代表者: 村田 實 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 教授 (50087079)
• 研究分担者: 志賀 啓成 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 教授 (10154189) ; 内山 耕平 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 教授 (00117566) ; 相川 弘明 島根大学, 総合理工学部, 教授 (20137889) ; 川中子 正 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助教授 (20214661) ; 二木 昭人 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 教授 (90143247)
• キーワード: 放物型方程式 / 楕円型方程式 / 正値解 / 歪積 / 基本解 / 解の一意性 / ポテンシャル論 / Martin境界

研究概要

村田・石毛はユークリッド空間上の2階方物型偏微分方程式に対する初期値問題の非負値解の一意性が成り立つための最適な十分条件を研究し、単純かつ一般的であって従来の結果を全て統一する一意性定理を確立した(Ann. Scuola Normu. Sup. Pisa, 30(2001), 171-223)。村田はさらに非一意性の最適な十分条件を研究し、単純かつ一般的な非一意性定理に到達した。この成果は既にA. Grigor'yan, J. R. Norris, R. G. Pinsky, Y. Pinchover等この方面の専門家のレビュウを受け、論文にまとめ投稿中である。
村田は2階楕円型・放物型偏微分方程式の正値解に関する基本的性質(スペクトル的性質・最小基本解の漸近的性質・摂動安定性)を研究・整備し、それを踏まえて歪積型の2階楕円型偏微分方程式の正値解の構造を明らかにした(to appear in Journal of Functional Analysis)。さらに村田はこの結果と村田・石毛による2階放物型偏微分方程式に対する初期値問題の非負値解の一意性が成り立つための最適な十分条件を用いて、R. G. Pinsky, D. Ioffe, V. Maz'ya, R. S. Martin等によって調べられたある種の楕円型方程式の正値解が一意であるための必要十分条件を与える予定である。この結果はJ. R. Norris, E. B. Davies, A. Grigor'yan, V. Maz'ya, L. I. Hedberg等この方面の専門家のレビュウを既に受け、論文にまとめているところである。

研究成果

• [文献書誌] M.Murata, K.Ishige: "Uniqueness of nonnegative solutions of the Cauchy problem for parabolic equations"Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. 30. 171-223 (2001)
• [文献書誌] M.Murata: "Martin boundaries of elliptic skew products, semismall perturbations, and fundamental solutions"Journal of Functional Analysis. (発表予定). (2002)
• [文献書誌] H.Aikawa: "Holder continuity of Pricklet solution for a general domain"Bull. London Math. Soc.. (発表予定). (2002)
• [文献書誌] K.Uchiyama: "Behavior of solutions to the initial value problem for a class of integro-differential equations"Non linear Analysis. (発表予定). (2002)
• [文献書誌] H.Shiga: "On holomorphic families of rational maps: Finiteness, Rigidity and Stability"Kodai Math. J.. 24. 48-65 (2001)
• [文献書誌] A.Futaki, Y.Nakagawa: "Characters of the automorphism groups associator with Kahler classes and funotionals with cocycle conditions"Kodai Math. J.. 24. 1-14 (2001)