| 研究分担者 |
齋藤 政彦 神戸大学, 理学部, 教授 (80183044)
山田 泰彦 神戸大学, 自然科学研究科, 助教授 (00202383)
野海 正俊 神戸大学, 自然科学研究科, 教授 (80164672)
三町 勝久 東京工業大学, 理工学研究科, 教授 (40211594)
岩崎 克則 九州大学, 数理学研究院, 教授 (00176538)
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| 研究概要 |
1.この研究課題は特殊な多変数非線形微分方程式系であるガルニエ系および退化ガルニエ系あるいは高階非線形常微分方程式の定義多様体を構成し、その幾何的性質を調べることである.これはこれらの方程式系もパンルヴェ性を持つと期待して,高次元複素多様体をブローアップして微分方程式の特異点を解消する(解曲線を分離する)問題であるので,個々の方程式について詳しく調べることから始めなければならない.そのため2変数の場合と4階常微分方程式,すなわち初期値空間の複素次元が4の場合を当面の研究対象とした.2変数ガルニエ系,退化ガルニエ系は5の分割によって分類されるが,分担者の木村によりすでに調べられているものを以外で(1,2,2)と(1,1,3)と(2,3)の場合に解曲線を分離出来ることを確かめた.初期値空間の次元が2のパンルヴェの場合と異り,計算が非常に大変であるため計算機を用いて調べているが,予想外の困難にぶつかっている.我々が退化ガルニエ系の標準形と考えているものが実は良い標準形ではない可能性もあり,問題の根本に戻って考え直している.
2.この研究課題のもともとのモデルであるパンルヴェ方程式については,いくつかの新しい知見が得られた.
(1)すべてのベックルント変換によりC^2を貼り合わせて得られる多様体とC^2のコンパクト化とブローアップにより構成される定義多様体が同型という事実を証明した.これより直ちにベックルント変換で移り合うパラメータを持つパンルヴェ方程式の定義多様体は同型であるという事実も従う.
(2)パンルヴェ方程式の初期値空間のコンパクト化とその中での初期値空間の補集合の組がある代数幾何的特徴を持つことに着目し、逆にそのような組によってパンルヴェ方程式が特徴付けされることを示した.これは初期値空間あるいは定義多様体がパンルヴェ方程式をすべて知っていることの正確な定式化である.
(3)第Vパンルヴェ方程式の有理解の行列式表示を得た.
(4)第IIパンルヴェ方程式のすべての有理解とエアリ関数の漸近展開の間に成立するな関係式を得た.なぜこのような関係式が成り立つのか,他のパンルヴェ方程式の特殊解についても同様の関係式があるのかは,今後の興味ある研究テーマである。
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