| 研究概要 |
図形がミンコフスキー和に対して常に逆元をもつように代数系を拡大したとき,超図形が現れることを私達は発見した.本研究の目的は,この超図形の性質を調べ,その応用を開拓することである.この目的に沿って,本年度は次のように研究を進め,成果を得た.
(1)微分可能な境界線で囲まれた凸図形から生まれる超図形の物理的解釈を見つけた.たとえば,花壇に水をまくための散水車の散水能力や,機械部品の表面を磨く加工機械の研磨能力などが,この超図形によって表現できることがわかった.その結果,従来は花壇や加工材料の形状が与えられてからでないと始められなかった計算のかなりの部分を,あらかじめ済ませて超図形として記憶し,利用することができるようになった.
(2)微分不可能な境界をもつ図形(多角形など)へ超図形を拡張した.これは,折れ線が微分可能な曲線の極限とみなせることを利用したものである.微分可能な曲線の場合は傾き単調曲線に限る(ただし自己交差してもかまわない)という制約が必要であったが,多角形の場合には,そのような制約の全くない図形世界に対して,超図形代数系への拡大ができることがわかった.
(3)2次元超図形を,複素関数を用いて簡便に表現する方法を見つけた.これによって,超図形の間に積演算も定義できることになるが,この演算の詳しい性質と物理的意味については,現在,調査中である.
(4)3次元図形の拡張も試みた。3次元超図形理論は未だ開発途中であるが,2次元傾き単調曲線を軸のまわりに回転して得られる3次元図形の間のミンコフスキー和を求めるアルゴリズムを構成できた.
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