| 研究概要 |
本研究は,代数幾何学の方法を可換環論に応用し,両分野の有機的な相互作用を図っていくことを目的としている.本年度においては,正標数の可換環におけるtight closure及びこれを用いて定義されるF-有理性,F-正則性を,代数多様体の特異点との対応を踏まえつつ,Rees環の場合を中心に研究した.
1.Rees環は,その"Proj"がブロー・アップという幾何的対象であるにもかかわらず,環そのものの幾何的な観点からの研究はあまりなされていない.この点に鑑み,研究分担者の吉田健一,渡辺敬一両氏との共同研究で,正規局所環(A,m)のm-準素イデアルIに関するRees環R(I)=A[It]のもつ環論的及び幾何的な性質をSpecAのブロー・アップProj R(I)と特異点解消を用いて考察した.論文"F-rationality of Rees algebras"では,正標数においてRees環R(I)がF-有理となるための条件をHochsterによるtight integral closureの概念を用いて記述し,また,特異点解消を用いて,F-有理でない正標数の局所環上にF-有理なRees環が存在する例(Boutotの定理の"F-有理版"の反例)を構成した.論文"Rees algebras of F-regular type"においては,Rees環R(I)のF-正則性をX=Proj R(I)の大域的F-分裂性にいいかえ,これを用いてAが標数0の2次元局所環の場合に,R(I)がF-正則型,或いは対数的端末特異点をもつための条件を,Xの特異点解消上の例外因子の双対グラフ等の幾何的性質により記述した.
2.正標数の環Aにおけるイデアルのtight closureの概念を,環AとSpec A上の有理係数因子Dの組(A,D),或いは,与えられたイデアルI⊆Aに対して定まるように一般化するものとして,"D-tight closure,"或いは,"I-tight closure"の概念を定義した.現在,I-tight closureとこれを用いて定義されるイデアル_T(I)に関する種々の問題,例えば,_T(I)と,特異点解消を用いて定義されるIのmultiplier ideal J(I)の類似性等に関して,吉田健氏との共同研究が進行中である.
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