| 研究概要 |
前年度までの研究でその定義と理論の基礎付けがなされたI-密着閉包の概念とこれを用いて定義される判定イデアルの一般化であるイデアルγ(I)の応用について考察した.これらの概念は正標数の可換環のイデアルIに対してフロベニウス写像を用いて定義されるが,標数0の代数幾何と可換環論において近年様々な応用が得られている乗数イデアルと密接な関わりをもつことがわかってきている.標数0の乗数イデアルの理論においては,特異点解消や消滅定理などが必要となるが,乗数イデアルの正標数版とも云うべきイデアルγ(I)に関してはこれらのある意味で超越的な手法の代わりに正標数の純粋に代数的な方法を用いて同等の結果(Skodaの定理,subadditivity等)が得られ,この簡明さはI-密着閉包の理論の著しい長所と考えられる.この哲学に基づき,I-密着閉包と『正標数の乗数イデアル』の理論を代数幾何及び可換環論における以下の問題に対して応用した.
1.イデアルγ(I)に対するSkodaの定理の類似を偏極多様体(X,L)の斉次次数環の標準加群の部分加群に対して適用することにより,随伴束K_x+nLの大域生成性の問題を考察した.豊富な直線束Lの大域生成性を仮定した藤田予想のごく特別な場合に対するK.E.Smithによる正標数の証明の別証明を与え,さらにこれを代数幾何的に再評価することにより,Xの特異点に関する仮定をF-有理特異点からF-入射的特異点に弱めた.
2.イデアルの乗法族I.={I_n|n=1,2,【triple bond】}に対して定まる漸近的乗数イデアルの正標数版γ(||I.||)を構成し, subadditivity等の基礎的な性質を調べた.その応用として,I.としてイデアルIの記号的ベキ乗I^<(n)>からなる乗法族I.=I^<(・)>を考えることにより,Ein-Lazarsfeld-Smith, Hochster-Huneke等による記号的ベキ乗の統一的挙動に関する結果を再評価した.
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