| 研究概要 |
研究代表者・原伸生は研究分担者・渡辺敬一,吉田健一との共同研究において,正標数の可換環論における密着閉包の理論を特異点論や双有理幾何の見地から捉え直すことにより,密着閉包とF-特異点の概念の一般化と理論の基礎付けを行い,これを可換環論,代数幾何の幾つかの問題に対して応用した.本研究で得られた主な結果は以下の通りである.
1.Rees環のF-特異点の研究:Rees環は,その"Proj"がブロー・アップという幾何的対象であるにも拘らず,環そのものの幾何的な観点からの研究は余りなされていなかった.この点に鑑み,正規局所環(R,m)のm-準素イデアルIに関するRees環R[It]のもつ環論的及び幾何的な性質をSpec Rのブロー・アップProj R[It]と特異点解消等の手段を用いて,主としてF-特異点の立場から考察した.
2.密着閉包の一般化:正標数の環Rにおけるイデアルの密着閉包の概念を,環RとSpec R上の有理係数因子Dの組(R,D)或いは,与えられたイデアルI⊆Rに対して定まる"D-密着閉包"或いは"I-密着閉包"の概念に一般化した.とくに,I-密着閉包とこれを用いて定義される一般化された判定イデアルτ(I)の種々の性質(τ(I)と乗数イデアルΤ(I)の対応,イデアルτ(I)に対するSkodaの定理,制限定理,subadditivity)等を証明し,理論の基礎付けを行った.
3.I-密着閉包の応用:イデアルτ(I)に対するSkodaの定理の類似を偏極多様体(X,L)の斉次次数環の標準加群の部分加群に対して適用することにより,随伴束K_x+nLの大域生成性の問題を考察し,とくに,豊富な直線束Lの大域生成性を仮定した藤田予想のごく特別な場合に対するK.E.Smithによる正標数の証明の別証明を与えた.
また,イデアルの乗法的な族I_●={I_n|n=1,2,...}に対して定まる漸近的乗数イデアルの正標数版τ(||I_●||)を構成し,その応用として,Ein-Lazarsfeld-Smith,Hochster-Huneke等による記号的ベキ乗の統一的挙動に関する結果を再評価した.
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