| 研究概要 |
本年度は,量子アファィン展開環の有限次元表現について研究を行った.特に
・有限次元表現のq指標に用いられる単項式の全体に,柏原の意味の結晶の構造を導入した.
・標準加群が,基本表現のテンソル積であることの別証明(原証明は,Varagnolo-Vasserotによる)を与えた.
これらは,箙多様体に新たなラグランジアン部分多様体を導入することによって得られれた.第一項では,ラグランジアン部分多様体と単項式が一対一に対応することの帰結であり,また第二項はある条件の下で,ラグランジアン部分多様体のC^*作用に関する固定点集合が,全体の固定点集合と一致することからの帰結である.
また,量子アファイン展開環の有限次元表現のq指標を計算するアルゴリズムをC言語で記述し,スーパーコンピュータでの計算を実行した.しかし,結果を得るにはコンピュータの能力が不足していることが判明した.来年度は,アルゴリズムの改良が必要であろう.
また,標準加群が柏原の導入したextremalウェイト加群と同型であることを研究の途中で証明した.extremalウェイト加群は,結晶基底を持つことが柏原により示されているが,それが自然な内積に関して'ほとんど'直交していることを証明した.
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