| 研究分担者 |
中岡 明 京都工芸繊維大学, 工芸学部, 教授 (90027920)
米谷 文男 京都工芸繊維大学, 工芸学部, 教授 (10029340)
三木 博雄 京都工芸繊維大学, 工芸学部, 教授 (90107368)
岩塚 明 京都工芸繊維大学, 繊維学部, 教授 (40184890)
矢ケ崎 達彦 京都工芸繊維大学, 工芸学部, 助教授 (40191077)
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| 研究概要 |
Xを標数0の体k上定義された代数曲線で種数g(【greater than or equal】0)の完備なものからn(【greater than or equal】0)個のk-有理点をぬいたもの(2-2g-n<0)、lを素数とする。X【cross product】k^^-のpro-l基本群(代数的基本群の最大pro-l商)にはkの絶対ガロア群が自然に作用し、ガロア表現が得られる。
いま、n点を指定した種数gの代数曲線のモデュライ空間M_<g,n>/Q(Q:有理数体)とM_<g,n>上の代数曲線の普遍族を考える。このとき、M_<g,n>の代数的基本群π_1^<alg>_1(M_<g,n>)を一般ファイバーのpro-l基本群へ自然に作用させて、モノドロミー表現が生ずる。(厳密な基礎づけは織田孝幸氏による。)これは、上に述べたXがuniversal curve(kはM_<g,n>の関数体;k=Q(M_<g,n>))の場合のガロア表現である。種数g(【greater than or equal】0)のコンパクトリーマン面からn(【greater than or equal】0)個の相異なる点を除いて得られるリーマン面の位相的基本群、写像類群を各々π_1(g,n),Γ^n_gとする。このとき、M_<g,n>【cross product】Q^^-の代数的基本群π_1^<alg>_1(M_<g,n>【cross product】Q^^-)はΓ^^^^n_g(^: profinite completion)と同型となる。また、Γ^n_gのπ_1(g,n)への作用から自然に誘導されるΓ^^^n_gのπ^<(l)>_1(g,n)(π_1(g,n)のpro-l completion)への作用ρ^<(l)>_<g,n>は、上のモノドロミー表現を部分群π_^<alg>_1(M_<g,n>【cross product】Q^^-)に制限したものに他ならない(織田)。
表現ρ^<(l)>_<g,n>の(例えば)核については、g=0の場合のみわかっていて、g【greater than or equal】1の場合はわかっていない。本年度は(g,n)=(1,1)の場合の研究の為に、まずπ_1^<alg>_1(M_<1,1>)のweighted completionの構造を決定しようと試みた。最近のHain-松本によるweighted completionの一般論を以前の伊原氏の結果(モデュラー曲線のヤコビ多様体のl-進Tate加群の射影系の構造定理)に適用すれば、π_1^<alg>_1(M_<1,1>)の部分群π^<alg>_1(M_<1,1>【cross product】Q^^-)のweighted completionの構造が決定できることを確かめた。
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