| 研究分担者 |
矢ヶ崎 達彦 京都工芸繊維大学, 工芸学部, 助教授 (40191077)
米谷 文男 京都工芸繊維大学, 工芸学部, 教授 (10029340)
三木 博雄 京都工芸繊維大学, 工芸学部, 教授 (90107368)
塚本 千秋 京都工芸繊維大学, 繊維学部, 助教授 (80155340)
中岡 明 京都工芸繊維大学, 工芸学部, 教授 (90027920)
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| 研究概要 |
n点を指定した種数gの代数曲線のモデュライ空間M_<g,n>/Q(Q:有理数体)とM_<g,n>上の代数曲線の普遍族を考える。このとき、M_<g,n>の代数的基本群π^<alg>_1(M_<g,n>)を一般ファイバーのpro-l基本群(lは素数)へ自然に作用させて、モノドロミー表現が生ずる。n点を指定した種数gのリーマン面の写像類群をΓ^n_gとすると、M_<g,n>【cross product】Q^^-の代数的基本群π^<alg>_1(M_<g,n>【cross product】Q^^-)はΓ^^^^n_g(^:profinite completion)と同型となる。本研究では(g,n)=(1,1)の場合のモノドロミー表現の研究の為に、まずπ^<alg>_1(M_<1,1>)のweighted completionの構造を決定しようと試みた。weighted completionの一般論(Hain-松本)を以前の伊原氏の結果(モデュラー曲線のヤコビ多様体のl-進Tate加群の射影系の構造定理)に適用して、π^<alg>_1(M_<1,1>)の部分群π^<alg>_1(M_<1,1>【cross product】Q^^-)のweighted completionの構造が決定できることを確かめた。
Xを体k上定義された代数曲線で、種数gの完備なものからn個のk-有理点をぬいたものとする。2-2g-n<0のとき、X【cross product】k^^-の代数的基本群π^<alg>_1(X【cross product】k^^-)は「任意の指数有限部分群の中心は自明となる」という性質を持つ。Profinite群Γ^^^^n_gについては、それが同じ性質を持つか否かは未解決の問題であるが、持つ為には、その稠密な部分群Γ^n_gも同じ性質を持つことが必要条件となる。Γ^n_gが同じ性質を持つことは既に知られているが、本研究では、n【greater than or equal】1の仮定の下で、この事実の群論的で簡単な証明を与えた。一方、k_∞を有限次代数体kに1のべき根をすべて添加して得られる体、Mをk_∞の最大不分岐ガロア拡大体とすると、ガロア群Gal(M/k_∞)は、π^<alg>_1(X【cross product】k^^-)の代数体における類似物と考えられる。本研究では、ガロア群Gal(M/k_∞)およびGal(M/k)も上記の性質を持つことを示した。
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