| 研究概要 |
射影空間P^n(n【greater than or equal】4)上の階数2のベクトル束Eに関する次の分解問題を研究した。
(1)n=4.c^2_1-4c_2【greater than or equal】0ならば、Eは線束の直和である。ただし、c_i(i=1,2)はEのi次Chern classである。
(2)n=5.Eが安定ベクトル束でないならば、Eは線束の直和である。
(3)n=6.任意の階数2のベクトル束Eは線束の直和である。
これら分解問題の解決はベクトル束領域における重要な研究課題であるHartshorne予想およびGrauert-Schneider予想の解決を与える。本研究においては、これらの研究課題を新たらしく導入した行列式多様体の方法により研究し、平成13年度において、次の研究成果を得た。
1)P^nのHilbert schemeの行列式多様体における構造を解析し、次の分解定理を示した。
定理:EをP^n(n【greater than or equal】4)上の階数2のベクトル束、PをP^nの4次元または5次元の線形部分空間、E^^-=E|PをEのPへの制限とする。このとき、Eが線束に分解するためには、H^1(P, End(E))=0であることが必要十分である。
従って、この分解定理により標数零の体上の分解問題は正標数の体上の分解問題に帰着されることが判る。
2)正標数の体上の行列式多様体の構造の研究。標数零の体上では、小平-中野消滅定理、Hodge分解等が成立することにより、行列式多様体の構造を比較的容易に研究することが出来るが、正標数の体上ではこれらは成立しない。正標数におけるDeRham complexからHodge complexへのスペクトル列を研究し、次の結果を得た。
定理:Xを正標数の代数閉体上の非特異射影多様体、LをX上の豊富線束とする。このとき、次の不等式が成立する:dimH^1(-L)【less than or equal】dim H^1(X,O_x).
定理:Xを行列式多様体とすると、H^1(X,O_x)=0である。
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