| 研究概要 |
非可換環における高次導分(high order derivation)全体の構造を決定する高次微分加群を構成し、それに関連する理論について研究を行なった。
可換多元環の高次導分と高次微分加群の概念は非可換多元環にまで拡張されていたが、本研究では、更に非可換環の環拡大にまで拡張することに成功した。高次微分加群の両側加群構造に着目することによって、従来から扱われてきた高次片側導分に加えて、導分の特殊なものである高次中心導分をも表現することを見抜いた。このことを用いて多くの結果を得た。一つは高次微分加群の冪等元による分解である。多元環の場合であっても、冪等元で分解すると環拡大の高次微分加群が現われる。従って、環拡大の高次微分加群は極めて基本的な概念であることがわかる。一つは高次微分加群から得られる完全系列の構成である。可換多元環の場合にも考えられていなかった系列を導いた。さらに、分離拡大、純非分離多元環に関連する結果を得た。
上記の高次片側導分の理論に留まらず、通常の導分を高次化する手法を提案した。これは特殊な場合として高次片側導分を含む。そしてそれに対応する高次微分加群を構成した。この新しい高次微分加群についても基本的な完全系列を得た。
新しい意味での(1,1)次の微分作用素は、一般導分という概念とも一致しており、これについての研究を行なった。一つは、零とは異なる値がすべて可逆であるような一般導分をもつ環をほぼ完全に決定した。同時に、導分についての同様の既知の結果を精密化することに成功した。単位元の存在を仮定しない環に対しても一般導分は定義されている。それについては、行列環の一般導分の決定や、素環の一般導分についての成果を得た。
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